Banque de problèmes du RMT
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Trouver tous les âges des personnes dont les deux dernier chiffres de l’année de naissance sont, dans l’ordre inversé, forment l’âge qu’elles ont en 2010. Avec exemple d’une personne de 64 ans en 2010 née en 1946.
Procéder par essais plus ou moins organisés en faisant une hypothèse sur l’année de naissance, puis calculer l’âge correspondant en 2010 et valider ou non la réponse en contrôlant si le nombre donnant l’âge calculé correspond au nombre obtenu en inversant les deux derniers chiffres de l'année de naissance.
Ou: procéder de même en faisant une hypothèse sur l’âge en 2010 et en calculant les années de naissances correspondantes.
Ou: remarquer, après quelques essais, que la somme des chiffres des âges qui conviennent est 10. Lister alors tous les nombres de deux chiffres dont la somme des chiffres est 10. Vérifier la cohérence entre âges et années ainsi déterminés.
Ou: remarquer que le chiffre des dizaines (ou celui des unités) du nombre désignant l’âge est nécessairement le complément à 10 du chiffre des dizaines (ou respectivement de celui des unités) du nombre indiquant l’année de naissance. (Car la somme de l’âge et de l’année de naissance, 2010, se termine par 0). En déduire, qu’à cause de la condition sur l’inversion des chiffres, ce complément est le chiffre des dizaines (respectivement des unités) correspondant. Lister, alors tous les nombres de deux chiffres dont la somme des chiffres est 10 pour déterminer tous les âges qui conviennent.
numération, addition, inversion de chiffres
Résultats sur 2389 classes de 24 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 224 (22%) | 239 (24%) | 154 (15%) | 148 (15%) | 242 (24%) | 1007 | 1.95 |
| Cat 7 | 86 (11%) | 136 (17%) | 135 (17%) | 124 (15%) | 334 (41%) | 815 | 2.59 |
| Cat 8 | 24 (4%) | 54 (10%) | 99 (17%) | 114 (20%) | 276 (49%) | 567 | 2.99 |
| Total | 334 (14%) | 429 (18%) | 388 (16%) | 386 (16%) | 852 (36%) | 2389 | 2.42 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Le problème est plutôt bien réussi en catégorie 7 et 8, de difficulté moyenne en catégorie 6.
L’intérêt d’une analyse a posteriori des copies d’élèves serait de déterminer les procédures de résolution et leur fréquence et la nature des « explications » mentionnées dans l’attribution des points.
Comme l’indique l’analyse de la tâche, on peut trouver les différentes possibilités par des observations et constatations puis généralisations et vérifications. La propriété importante de ce problème est liée à la somme de deux nombres de deux chiffres inversés qui est toujours un multiple de 11, et qui est 110 pour ce problème, (2010 = 1900 + 110), que le phénomène ne se reproduira pas avant 3010, …
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