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Rallye: 21.II.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPD, NU
Famille:

• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux

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Résumé

Trouver le nombre qui, multiplié par 100 devient un nombre naturel compris entre 300 et 500, multiplié par 10 devient un nombre non entier moitié d’un nombre naturel, divisé par 5 devient un nombre dont deux chiffres ne changent pas de position.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre la situation, en particulier les types de calculs et les types de nombres obtenus.

- Procéder d’abord par déduction :

la première information indique que le nombre cherché est situé entre 3 et 5 ;

la seconde information indique :

• que le nombre cherché n'est pas un nombre entier (ce qui exclut la réponse 4),
• qu’en reprenant la première information, c'est un décimal ayant 3 ou 4 pour partie entière, avec un ou deux chiffres à droite de la virgule,
• que 10 fois le nombre cherché est de la forme n,5 (ce qui signifie que le nombre cherché a 5 comme chiffre des centièmes).

On sait donc maintenant qu'on cherche un nombre de la forme 3,d5 ou 4,d5.

Si on le divise par 5, le chiffre des unités du quotient ne peut être que 0. Ce sont donc les chiffres d et 5, qui constituent la partie décimale de ce quotient, qui ne changent pas. 0,d5 sera donc le résultat de la division du nombre cherché par 5. Énumérer les 20 possibilités (3,05 - 3,15 - 3, 25 -… - 4,95) et essayer de les diviser par 5 pour voir si la troisième condition est satisfaite. Trouver la solution 3,75.

Ou bien, considérer que le nombre à déterminer étant de la forme 3,d5 ou 4,d5, le nombre des dixièmes est 30 + d ou 40 + d, et puisque le résultat de la division par 5 est de la forme 0,d5, que ce nombre de dixièmes doit être égal à 5d + 2 (obtenu en multipliant 0,d5 par 5).

Dans le premier cas, trouver que d = 7, en travaillant sur les multiples de 5 supérieurs à 30 ou en résolvant l'équation 5d + 2 = 30 + d.

Vérifier par contre que dans le second cas, il n'existe pas de valeur entière pour d qui satisfasse l'égalité 5d + 2 = 40 + d. Conclure que le nombre cherché est 3,75.

Notions mathématiques

nombres décimaux, calcul

Résultats

2I.II.14

Points attribués sur 1368 classes de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (3,75) avec explication de l'unicité et vérification des conditions
• 3 points: Réponse correcte (3,75) sans explication de l'unicité et vérification des conditions
• 2 points: Proposition d’exemples vérifiant deux des conditions et essai de vérification de la 3e
• 1 point: Proposition d'exemples vérifiant une des conditions et essai de vérification d'au moins une autre condition
• 0 point: Incompréhension du problème