Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTop1-fr |
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Trouver le nombre de gâteaux d’anniversaires de deux personnes qu’on peut compléter avec 24 bougies à partir de 3 ans pour la première et de 1 année pour la seconde.
Être capable d’organiser chronologiquement la séquence des anniversaires : Constance 3 ans demain ; Sophie 1 ans dans trois mois ; Constance 4 ans dans un an ; Sophie 2 ans dans un an et trois mois, …
Il y a plusieurs manières d’arriver aux réponses
- Additionner progressivement les nombres de bougies selon la chronologie précédente, jusqu’à un total de 24, ce qui correspond à 4 anniversaires de Constance et trois les bougies anniversaires de Sophie. Dans ce cas la suite des opérations est : 3 + 1 = 4 ; 4 + 4 = 8 ; 8 + 2 = 10 ; 10 + 5 = 15 ; 15 + 3 = 18 ; 18 + 6 = 24.
- Soustraire progressivement les bougies lors de chaque anniversaire à partir de 24 jusqu’à ce que la dernière soit utilisée, avec les opérations suivantes : 24 – 3 = 21 ; 21 – 1 = 20 ; … 9 – 3 = 6 ; 6 – 6 = 0.
Ces suites d’additions ou de soustractions s’effectuent mentalement. Il est possible de s’appuyer sur une représentation graphique des bougies et procéder par comptage.
addition, soustraction, nombre naturel
Points attribués sur 903 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 138 (36%) | 41 (11%) | 49 (13%) | 31 (8%) | 129 (33%) | 388 | 1.93 |
| Cat 4 | 119 (23%) | 42 (8%) | 79 (15%) | 46 (9%) | 229 (44%) | 515 | 2.43 |
| Total | 257 (28%) | 83 (9%) | 128 (14%) | 77 (9%) | 358 (40%) | 903 | 2.22 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon une analyse a priori d'une cinquantaine de copies de la section de Suisse romande
Non appropriation du problème à mettre en relation avec les 36% de « 0 pt » en catégorie 3?
Sans référence à la séquence chronologique
Exemple 1 (cat 3) : Les bougies suffisent pour 24 anniversaires de Sophie et 21 anniversaires de Constance. On a calculé sur la calculatrice.(cat 3)
Utilisation des trois nombres de l'énoncé
Exemple 2 (cat 3) : les deux opérations en colonnes: 9 x 3 = 27 (avec un "2" de retenue) et 27 + 24 = 51 (avec un "1" de retenue) et la réponse: Il y a 51 bougies pour l'anniversaire de Constance et de Sophie
On constate que les trois nombres de l'énoncé ont été utilisés.
Procédures par représentation graphique des bougies
Exemple 3 (cat 3): Deux lignes avec, pour la première quatre groupes de trois, quatre, cinq et six bâtons verticaux et pour la seconde ligne, trois groupes de un, deux et trois bâtons verticaux suivie de la phrase: 3 anniversaires de Sophie et 4 de Constance
Il s'agit d'un bel exemple de ce qui peut se passer « dans la tête des élèves » pour une résolution sans aucune opération ou écriture arithmétique explicite.
Confusion des deux séries chronologiques
Exemple 4: (cat 4) Constance 24 : 2 = 12 puis 3 + 4 + 5 = 12. Sophie 24 : 2 = 12 puis 1 + 2 + 3 + 4 = 10 suivies de la réponse: Pour 3 anniversaires de Constance et pour 4 anniversaires de Sophie, les bougies suffiront. Les divisions 24 : 2 = 12, avec un "2" biffé dans a première révèlent vraisemblablement une intention de partage équitable.
A partir de 24
Exemple 5 (cat 4): Il y aura assez de bougies pour 4 anniversaires de Constance et 4 de Sophie avec une colonne avec les sept écritures suivantes: 21C, 20S, 16C, 14S, 9C, 6S, 0C oò l'on reconnaît les nombres qui restent après chaque snniversire de C et de S. avec une erreur dans la réponse (4 au lieu de 3 pour Sophie.
Exemple 6 (cat 3): 24 - 1 = 21 - 1 = 20 - 4 = 16 - 2 = 14 - 5 = 9 - 3 = 6 - 6 = 0 Sous chacune de soustractions un numéro d'ordre de 1 à 7. Les bougies suffiront pour 7 anniversaires.
Additions distinctes
Eemple 7 (cat 4): Deux additions en colonne: la peemière: Constance 3 + 4 + 5 + 6 = 18, la seconde Sophie 1 + 2 + 3 = 6, suivies de 18 + 6 = 24
Il est intéressant de relever les écritures des opérations arithmétiques conventionnelles (avec signes « + » , « - » et « = ») et de distinguer les autres procédures qui semblent plus liées aux comptages qu’aux « opérations d’addition et de soustraction. Dans la cinquantaine de copies observées, près de la moitié présentent des écritures non conventionnelles ou des procédures graphiques par comptage.
- La succession des anniversaires est l’occasion de revoir et renforcer les connaissances du calendrier.
- Il y a peu de connaissances nouvelles à institutionnaliser mais il est cependant important de comparer les deux procédures, additive à partir de 3 et soustractive à partir de 24 pour bien faire apparaître leur complémentarité.
- L’intérêt de ce problème est aussi, et surtout, de chercher à savoir, lors de la mise en commun, si les élèves ont pris conscience des opérations d’addition ou de soustraction (même au cas où ils ont utilisé les signes « + » ou « - » dans leur écritures numériques) ou s’ils ont simplement compté les bougies, en particulier lorsqu’ils n’ont donné qu’une représentation graphique (Voir exemple 3 où il est évident que les opérations arithmétiques ne sont pas du tout nécessaires. Le comptage un à un ou le support de la comptine « un, deux, trois …vingt-quatre » sont suffisants.)
On est ici au cœur de la « construction du nombre » , ou moment où s’opère progressivement le passage des quantités, ou « nombres d’objets » ou encore « nombres de … » au concept de « nombre naturel ». Certains élèves travaillent sur des « nombres de bougies » qu’ils regroupent et compte, d’autres en sont déjà aux opérations arithmétiques dans l’ensemble N et d’autres encore en sont à des stades intermédiaires.
Ce ne sont pas les « explications » de l’enseignant qui vont les faire évoluer mais bien plutôt les confrontations et échanges lors de mise en commun, qu’on peut favoriser par des questions ou de nouvelles activités comme celles proposées dans la rubrique suivante.
1. « Nous venons de voir qu’avec un paquet de 24 bougies la maman a pu décorer 7 gâteaux d’anniversaire : quatre de Constance et trois de Sophie. Si elle achète une nouvelle boîte de 24 bougies après le troisième anniversaire de Sophie, combien de gâteaux pourra-t-elle décorer encore ? »
Cette question demande aux élèves de poursuivre la double suite des nombres de bougies à partir de 4 pour Sophie et de 7 pour Constance : 4 + 7 + 5 + 8 = 24 et de constater qu’on arrive à décorer exactement 4 gâteaux d’anniversaire.
C’est l’occasion de voir que si on double le nombre de bougies, on ne double pas le nombre de gâteaux d’anniversaire.
Les procédures par soustractions successives ou par dessin ou simples comptages sont encore efficaces dans ce cas, mais certains élèves pourront se rendre compte que les opérations permettent de prévoir la réponse.
2. « Combien de gâteaux d’anniversaire la maman pourrait décorer en tout avec 100 bougies ? »
La question est ici très proche de la précédente mais exige une organisation rigoureuse des opérations, pour laquelle les nombres naturels et opérations sont efficaces, mais pas encore nécessaires. Les calculs montrent dans ce cas qu’il restera 1 bougie après le 8e anniversaire de Sophie et qu’elle ne suffira pas pour le 12e anniversaire de Constance (car 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 61 + 36 = 99)
3. Un concours ! « Qui peut me dire le plus rapidement possible combien de bougies seront utilisées en tout et seulement pour les gâteaux d’anniversaire de Constance au moment où elle aura 20 ans ? »
L’objectif est ici de trouver des simplifications pour calculer la somme 1 + 2 + 3 + … + 17 + 18 + 19 + 20.
On peut effectuer les dix-neuf additions successives 1 + 2 = 3 ; 3 + 3 = 6 ; 6 + 4 = 10 ; … ; placer les nombres en colonne selon l’algorithme traditionnel (ce qui représente la même tâche que les 19 additions), penser que en arrivant à 55 après les 10 premiers termes il suffit de doubler pour obtenir la somme des 20 termes (tentation fréquente) ; regrouper les nombres deux à deux comme 1 + 19, 2 + 18, 3 + 17 …. et obtenir 20 + 9 x 20 + 10 = 210.
Le contexte des bougies, devenu familier, permet ainsi aux élèves de mettre en œuvre des propriétés essentielles de l’addition : on peut regrouper (associer) les termes d’une addition en les prenant dans n’importe quel ordre (commutativité) et même remplacer des termes égaux par un produit (multiplication).
Le contexte est familier, les élèves qui ont besoin peuvent se représenter les objets et donner ainsi du sens aux opérations. Ces quelques propositions, ou d’autres, peuvent occuper une classe durant plusieurs périodes et se substituer avec profit à des séances d’exercices et d’entraînement.
(c) ARMT, 2012-2024