Banque de problèmes du RMT
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Rechercher les nombres naturels consécutifs dont la somme est 105. Contexte : « ruban des nombres » ou « suite des nombres naturels », avec exemple : 34, 35, 36.
Appropriation :
Comprendre que "nombres consécutifs" signifie "nombres qui se suivent" sur le ruban des nombres naturels et que la question qui mentionne "d'autres nombres consécutifs" porte sur le nombre de ces "nombres consécutifs"; c'est-à-dire nombres différents de 3 (comme dans l'exemple 34, 35 et 36) : 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ... (Sans distinguer les deux significations du mot "nombres" pour cette situation, on ne peut pas "entrer" dans la recherche.)
Résolution
- Organiser une recherche d'autres "nombres consécutifs" par essais au hasard, ou par essais organisés en commençant par 2 nombres (52 et 53) en continuant par 3 (exemple) par 4 (sans solution) par 5 (19, 20, 21, 22, 23), par 6 (15, 16, 17, 18, 19, 20) par 7 (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18), par 8 et par 9 (sans solution) par 10 (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) par 11, 12 ou 13 (sans solutions), par 14 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) qui est la dernière solution puisque la suite commence à 1. ou essayer d'additionner les nombres des suites commençant par 1 (ça marche, dernière solution ci-dessus), puis par 2, par 3, par 4 etc.
D'autres procédures, réfléchies et non par essais, font intervenir la multiplication ou la division.
- Par exemple, pour deux nombres, se rendre compte que 52 x 2 = 104 ou que la moitié de 105 est proche de 52 ou de 53 ; pour une suite de cinq nombres, partir de 105 : 5 = 21, essayer 21 1 22 + 23 + 24 + 25 et se rendre compte que 21 doit être le nombre du milieu.
- Partir de suites de deux, trois, quatre, cinq ... nombres consécutifs par approximations successives : calculer leur somme, puis la différence entre cette somme et 105 et déterminer de combien il faut augmenter ou diminuer chaque nombre de la suite choisie. Par exemple, pour deux nombres, commencer par 50 et 51, constater que la somme 101 est insuffisante et qu'il faudrait lui ajouter 4, et par conséquent en ajoutant 2 à chacun de ces deux nombres on arrivera à 52 et 53 dont la somme est 105.
- Il y a encore de nombreuses procédures réfléchies dont on ne peut pas établir la liste ici.
Les savoirs à mobiliser
Pour les procédures par essais, on ne fait appel qu'à l'addition.
Pour les procédures réfléchies, entre en jeu la multiplication et/ou la division. Les propriétés essentielles de l'addition (associativité et commutativité permettent de replacer des nombres par leur voisin augmenté ou diminué de 1. Le passage à la multiplication fait intervenir la distributivité, propriété-clé liant les deux opérations d'addition et de multiplication.
Par exemple, pour trouver la suite des cinq nombres consécutifs dont la somme est 105, il faut penser au nombre 21 (21 x 5 = 105 ou 105 : 5 = 21) et penser aux deux voisins immédiats de 21 ; 22 = 21 + 1 et 20 = 21 - 1 et aux deux suivants 23 et 19 pour être certain que :
19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 5 x [(21 - 2) + (21 - 1) + 21 + (21 + 1) + )21 + 2)] = 105.
arithmétique, numération, addition, soustraction, multiplication, division, commutativité, associativité distributivité
Sur la base de 72 classes participant aux finales régionales du 11e RMT, de 13 sections.
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 10 (26%) | 6 (15%) | 13 (33%) | 5 (13%) | 5 (13%) | 39 | 1.72 |
| Cat 6 | 8 (24%) | 2 (6%) | 6 (18%) | 8 (24%) | 9 (27%) | 33 | 2.24 |
| Total | 18 (25%) | 8 (11%) | 19 (26%) | 13 (18%) | 14 (19%) | 72 | 1.96 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères de corrections:
Pour les 17 classes de catégorie 5 et les 18 classes de catégorie 6 examinées lors de la Finale des finales virtuelle, c’est-à-dire les classes gagnantes des finales régionales, les moyennes sont un peu plus élevées, respectivement 2,06 et 2,39.
Il n’y a pas d’obstacles bien évidents dans ce travail mais des « résistances » à développer une réflexion préalable sur les opérations à effectuer avant de passer au calcul effectif, ce qu’on appel aussi « calcul réfléchi » ou « calcul raisonné ».
Le problème présente des potentialités évidentes pour travailler sur tous les concepts de l'arithmétique dans l'ensemble des nombres naturels et de ses opérations, en particulier sur les liens entre l’addition et la multiplication.
Les élèves d'une même classe sont à des niveaux de construction de ces concepts qui peuvent être très différents.
Ces exemples montrent que la recherche peut encore s’ouvrir vers l’idée de quotient exact comme « moyenne », vers des comparaisons d’une somme de nombres consécutifs avec les produits du nombre de termes par le plus petit, respectivement le plus grand des nombres de la suite ; vers un rapprochement avec les concepts de diviseurs et multiples ; ...
Pour des élèves plus âgés, il y a là aussi un passage progressif vers des généralisations ou des écritures littérales de sommes, du genre n + (n + 1) + (n + 2) + ... = 105
Exemples d'activités en vue d'un parcours didactique avec la classe
À expérimenter en classe, selon des modalités déterminées par l'enseignant; avec envoi de description et commentaires pour rendre compte de l'opportunité de l'activité pour la construction des savoirs (notés en italique).
On peut toujours "aller plus loin" en arithmétique, et découvrir des propriétés, ou des relations souvent inattendues. Les propositions d'activité qui suivent n'ont cependant pas encore été soumises à des élèves. Il s'agit de les expérimenter et d'avoir l'avis des élèves et enseignants.
a) On peut lancer les élèves sur la recherche de tous les nombres qui sont la somme de deux nombres naturels consécutifs (pour trouver que ce sont les nombres impairs), puis des nombres qui sont la somme de trois nombres naturels consécutifs (multiples de 3), puis des nombres qui sont la somme de quatre nombres naturels consécutifs (ce ne sont pas les multiples de 4), ...
Savoirs: Associativité et commutativité de l'addition, multiples, moyenne arithmétique, classes de reste, ...
b) Suivant la légende, Carl Friedrich Gauss aurait trouvé sa fameuse formule à 9 ans en quelques minutes, à la grande surprise de son maître, qui croyait l'occuper pour une durée plus longue en lui avait demandant de calculer la somme des nombres de 1 à 100.
Savoirs, comme précédemment avec, en plus la distributivité (qui permet de remplacer des sommes par des produits, progression arithmétique, ...
c) Quelques problèmes de la BPrmt sur les nombres consécutifs et le ruban des nombres
Le ruban de Marie(11.F.2 cat. 3, 4). Trouver toutes les suites de nombres consécutifs de nombres naturels dont la somme est 45.
Les pas de géant(05.I.04 cat. 3, 4) Recherches de multiples commune de 3 et 5, dans un contexte de parcours de cases numérotées de 1 à 100 ou deux enfants sautent respectivement de 3 en 3 et de 5 en 5.
Le ruban des nombres(I) (05.II.03 cat. 3, 4). Retirer deux nombres de la suite de 1 à 9 de manière à laisser deux parties de nombres consécutifs de même somme. Dans un contexte de ruban à découper.
Le ruban des nombres(II) (23.I.04 cat. 3, 4, 5)
Nombres inconnus(31.I.03 cat. 3, 4, 5). Trouver deux nombres naturels parmi les 12 premiers tels que la somme des nombres inférieurs au plus petit est égale à la somme des nombres compris entre les deux.
On trouve quelques données statistiques sur ce problème dans l’article sur la Finale des finales du 11e RMT in Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin Vol. 4 Mondorf-les-Bains. (170-199) // Jaquet. F. Le ruban de Noé. 2010. In Gazette de Transalpie 0 pp 43-48.