Le ruban de Noé

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Rallye: 11.F.08 ; catégories: 5, 6 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• PRG - Traiter des progressions

Remarque et suggestion

Résumé

Rechercher les nombres naturels consécutifs dont la somme est 105. Contexte : « ruban des nombres » ou « suite des nombres naturels », avec exemple : 34, 35, 36.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Lire l'énoncé et s'approprier les deux conditions "nombres consécutifs" et "somme 105"

- Imaginer que le nombre des "consécutifs" pourrait être 2, 3 (comme dans l'exemple) 4, 5, 6 ...

- Organiser une recherche d'autres "consécutifs" par essais, au hasard, ou par essais organisés en commençant par 2 nombres (52 et 53) en continuant par 3 (exemple) par 4 (sans solution) par 5 (19, 20, 21, 22, 23), par 6 (15, 16, 17, 18, 19, 20) par 7 (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18), par 8 et par 9 (sans solution) par 10 (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) par 11, 12 ou 13 (sans solutions), par 14 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) qui est la dernière solution puisque la suite commence à 1.

ou essayer d'additionner les nombres des suites commençant par 1 (ça marche), puis par 2, par 3, par 4 etc.

ou diviser 105 successivement par 2, 3,... et accepter les quotients entiers qui donnent le nombre « central » ou les « moitiés d’entiers » qui donnent la moyenne des deux nombres « du centre ». (La calculatrice est un outil essentiel pour ces recherches).

Autre version

Il faut déjà vérifier l’exemple donnée 34, 35, 36 et, éventuellement, se convaincre qu’il n’y a pas d’autres suites de trois nombres consécutifs dont la somme est 105. Pour cela, il faut faire appel aux propriétés de l’addition et de l’égalité (par exemple, si l’on prenait 35, 36 et 37, on est certain de ne pas obtenir 105 et on peut même savoir, sans effectuer l’addition, que la somme sera 108, car chacun des nouveaux nombres vaut 1 de plus que les nombres d’origine).

Pour chercher d’autres suites de deux, quatre, cinq ... nombres consécutifs adopter une procédure par approximations successives. Par exemple, pour une suite de deux nombres, commencer par 37 et 38, constater que c’est insuffisant, puis augmenter progressivement ... pour aboutir à 52 et 53.

Autre procédure déterminer un des nombres de la suite par multiplication ou division approchées. Par exemple, pour deux nombres, se rendre compte que 52 x 2 = 104 ou que la moitié de 105 est proche de 52 ou de 53 ; pour une suite de cinq nombres, partir de 21 = 105 : 5, essayer 21 1 22 + 23 + 24 + 25 et se rendre compte que 21 doit être le nombre du milieu.

Conduire une recherche systématique pour chacune des suites envisagée (de deux, quatre, cnq, six ... nombres) Par exemple, pour quatre nombres, se rendre compte que 25 + 26 + 27 + 28 = 106 (trop grand) et que 24 + 25 + 26 + 27 = 102 (trop petit) permet de déduire qu’il n’y a pas de solution.

... et trouver ainsi que les seules possibilités, différentes de la donnée (34, 35, 36) sont (52, 53) avec deux nombres, (19, 20, 21, 22, 23) avec cinq nombres, (15, 16, 17, 18, 19, 20) avec six nombres, (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18) avec sept nombres, (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) avec dix nombres et (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) avec 14 nombres, qui est la dernière solution puisque la suite commence à 1.

Autre version

- Chercher des suites de deux, quatre, cinq ... nombres consécutifs par approximations successives. Par exemple, pour deux nombres, commencer par 37 et 38, constater que c’est insuffisant, se déplacer de 10 avec 47 et 48 ... pour aboutir à 52 et 53.

- Déterminer un des nombres de la suite par multiplication ou division approchées. Par exemple, pour deux nombres, se rendre compte que 52 x 2 = 104 ou que la moitié de 105 est proche de 52 ou de 53.

- Conduire une recherche systématique pour chacune des suites envisagée (de deux, quatre, cnq, six ... nombres) Par exemple, pour quatre nombres, se rendre compte que 25 + 26 + 27 + 28 = 106 (trop grand) et que 24 + 25 + 26 + 27 = 102 (trop petit) permet de déduire qu’il n’y a pas de solution.

et trouver ainsi que les seules possibilités, différentes de la donnée (34, 35, 36) sont (52, 53) avec deux nombres, (19, 20, 21, 22, 23) avec cinq nombres, (15, 16, 17, 18, 19, 20) avec six nombres, (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18) avec sept nombres, (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) avec dix nombres et (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) avec 14 nombres, qui est la dernière solution puisque la suite commence à 1.

Notions mathématiques

arithmétique, numération, addition, division, diviseurs

Résultats

Sur la base de 72 classes participant aux finales régionales du 11e RMT, de 13 sections.

  Points:  0  1  2  3  4
  Cat 5	 10  6 13  5  5
  Cat 6	 8   2  6  8  9 
Selon les critères de corrections: 
  * 4 points: Les sept solutions ou les six nouvelles (34-35-36, puis 52-53 ; 19-20-21-22-23 ; 15-16-17-18-19-20 ; 12 à 18 ; 6 à 15 ; 1 à 14), avec les calculs correspondants
  * 3 points: Les sept solutions (ou les six nouvelles) sans calculs  ou quatre à cinq nouvelles solutions avec calculs 
  * 2 points: Quatre à cinq nouvelles solutions sans calculs ou deux à trois nouvelles avec calculs
  * 1 point: Une solution nouvelle avec calculs, ou deux à trois solutions sans calculs, ou solutions avec erreurs de calcul
  * 0 point: Incompréhension du problème
Pour les 17 classes de catégorie 5 et les 18 classes de catégorie 6 examinées lors de la Finale des finales virtuelle, c’est-à-dire les classes gagnantes des finales régionales, les moyennes sont un peu plus élevées, respectivement 2,06 et 2,39.
= Procédures, obstacles et erreurs relevés =
Il n’y a pas d’obstacles bien évidents dans ce travail mais des « résistances » à développer une réflexion préalable sur les opérations à effectuer avant de passer au calcul effectif, ce qu’on appel aussi « calcul réfléchi » ou « calcul raisonné ». 
==== Exploitations didactiques ====
Le problème présente des potentialités évidentes pour travailler sur les concepts de quotient euclidien, d’approximation par des nombres naturels, de liens entre l’addition et la multiplication. 
En effet, la recherche systématique et économique des solutions (Voir analyse a priori et procédures) fait intervenir les quotients euclidiens du « nombre but » (105) par les nombres successifs de termes à envisager :  2, 3, 4, 5, .... Dans cette situation, ces quotients peuvent trouver du sens dans un cadre purement numérique et être mis en relation avec les nombres de la suite cherchée. Par exemple :
  * pour deux termes le quotient de 105 par 2 donne 52 avec un reste de 1 qui pourra être reporté sur le deuxième nombre ; 
  * pour trois termes, le quotient est exact (35, reste 0), il n’y aura donc pas de reste à reporter, le 35 ne peut pas être le premier terme, mais celui du milieu
  * pour quatre termes, le quotient est 26 avec un reste de 1, insuffisant pour reporter sur les trois termes suivant dans l’hypothèse où 26 serait le premier ; si on fait l’hypothèse que 25 est le premier nombre,  le quotient de 105 par 25 donnerait 4 avec un reste de 5, qui ne suffit pas à être reporte sur les trois suivants (il faudrait 1 + 2 + 3 = 6) , et, dans une troisième hypothèse où 24 serait le premier nombre, le reste deviendrait 9 et serait trop grand.
Ces exemples montrent que la recherche peut encore s’ouvrir vers l’idée de quotient exact comme « moyenne », vers des comparaisons d’une somme de nombres consécutifs avec les produits du nombre de termes par le plus petit, respectivement le plus grand des nombres de la suite ; vers un rapprochement avec les concepts de diviseurs et multiples ; ...
Pour des élèves plus âgés, il y a là aussi un passage progressif vers des généralisations ou des écritures littérales de sommes, du genre n + (n + 1) + (n + 2) + ... = 105
==== Pour aller plus loin ====
==== Bibliographie ====
On trouve quelques informations sur ce problème dans l’article sur la Finale des finales du 11e RMT in Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin Vol. 4 Mondorf-les-Bains. (170-199) 
==== Fourre-tout ====
**Archivage disponible (sections)**
Il y a peu de copies de ce problème (Finale du 11e RMT), dispersées dans les sections et chez F.J
NN I. Recherches sur suites de nombres naturels
NN.I.1 (11.F.2) Le ruban de Marie (cat. 3, 4). Trouver toutes les suites de nombres consécutifs de nombres naturels dont la somme est 45.
NN.I.2 (11.F.8) Le ruban de Noé (cat. 5, 6) Trouver toutes les suites de nombres consécutifs dont la somme est 105.
NN.I.3 (04.F11) Le ruban (cat. 5). Découvrir une période dans une suite de nombres et en déduire le 94 e de la suite. La clé ; le premier nombre est 48 la règle de passage d’un nombre au suivant dépend de sa parité : si le dernier nombre écrit est pair, on le fais suivre de sa moitié ; s’il est impair, on le fait suivre de la somme des deux nombres précédents. 
NN.I.4 (05.I.04) Les pas de géant (cat. 3, 4) Recherches de multiples commune de 3 et 5, dans un contexte de parcours de cases numérotées de 1 à 100 ou deux enfants sautent respectivement de 3 en 3 et de 5 en 5. 
NN.I.5 (05.F.03) Le ruban des nombres (cat. 3, 4). Retirer deux nombres de la suite de 1 à 9 de manière à laisser deux parties de nombres consécutifs de même somme. Dans un contexte de ruban à découper.
NN.I.6 (08.F.07) Le ruban des nombres (cat. 3, 4). Retirer quatre nombres de la suite de 1 à 11 de manière à laisser deux parties de nombres consécutifs de même somme. Dans un contexte de maillots volés d’une équipe de football.
NN.I.7 (10.F.04) En sautant (cat. 3, 4,5). Trouver le 9e multiple commun de 3, 4 et 6. Dans un contexte de cases où se trouvent les traces d’animaux sautant de 3 en 3, de, 4 en 4 et de 6 en 6 sur une piste des nombres naturels
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