Comme c’est bon les fruits !

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Rallye: 25.F.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: LR, OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques

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Résumé

Déterminer le nombre d’élèves d’une école à partir d’indications sur le nombre d’éléments de certains sous-ensembles ou intersections de sous-ensembles de l’ensemble total des élèves.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

Comprendre que les résultats de l’enquête ne concernent que 3 types de fruits (pommes, poires et cerises).

Des 3 informations :

• 16 élèves ne mangent que des cerises et des poires,
• 8 élèves mangent des poires mais pas de cerises ni de pommes,
• 15 élèves mangent les trois sortes de fruits

déduire qu’il y a 46 – (16+8+15) = 7 élèves qui mangent seulement des pommes et des poires (mais pas de cerises).

Ainsi, les étudiants qui ne mangent que des pommes sont 120 - (12 + 15 + 7) = 86

Le nombre d'élèves de l’école est obtenu en additionnant les élèves qui mangent des fruits : 86 + 17 + 8 + 7 + 12 + 16 + 15 = 161 avec 60 qui ne mangent pas de fruits. On obtient ainsi le nombre d’élèves : 221.

Ou bien:

Le nombre d'élèves de l'école peut être calculé en additionnant 120 (élèves qui mangent des pommes) avec ceux qui ne mangent pas de pommes, soit 17 (qui ne mangent que des cerises), 16 (qui mangent des poires et des cerises), 8 (qui ne mangent que les poires) et 60 (qui ne mangent pas de fruits). Le résultat est que le nombre d’élèves est de 221.

Ou bien:

- Se rendre compte que le choix des trois types de fruits permet une répartition des étudiants en sous-ensembles (ou parties) dont on connaît le nombre d’éléments de la réunion de certains d'entre eux.

- Organiser les données en huit groupes, par exemple en les énumérant de cette façon :

un sous-ensemble de ceux qui mangent les trois types de fruits : les pommes, les poires, les cerises (15)

trois sous-ensembles de ceux qui mangent deux sortes de fruits :

• pommes, poires, [cerises]
• pommes, [poires], cerises (12)
• [pommes], poires, cerises (16)

trois sous-ensembles de ceux qui ne mangent qu’un fruit :

• pommes, [poires, cerises]
• [pommes, poires], cerises (17)
• [pommes|, poires, [cerises] (8)

un sous-ensemble de ceux qui ne mangent pas de genre de fruit :

• [pommes, poires, cerises] (60)

Ce raisonnement peut être visualisée par une représentation de ce genre :

- Il ne reste plus qu'à compléter le nombre d’éléments de certains sous-ensembles avec les données non encore utilisées:

de 46 qui mangent les poires, soustraire 8 + 16 + 15 pour obtenir les 7 élèves qui mangent des pommes, des poires, et pas de cerises

de 120 qui mangent des pommes soustraire 12 + 15 + 7 pour obtenir les 86 élèves qui mangent des pommes, mais pas de poires et de cerises

- Répondre à la question après avoir calculé la somme nombres d’éléments des huit sous-ensembles

  7 + 15 + 12 + 16 + 86 + 17 + 8 + 60 = 221 

Notions mathématiques

conjonction, négation, somme, différence

Résultats

25.F.15

Points attribués, sur 154 classes de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (221), avec explications claires et complètes (détail des différentes étapes du raisonnement logique, liste des sous-ensembles ou représentation graphique avec détail des additions et soustractions,…)
• 3 points: Réponse correcte avec explication incomplète ou peu claire (par exemple seulement un schéma ou seulement des opérations
  ou réponse avec seulement une erreur de calcul sur une des parties, avec explications claires et complètes
• 2 points: Réponse correcte sans aucune explication
  ou réponse erronée en raison d'une seule erreur de calcul de l'une des parties avec des explications incomplètes ou peu claires
  ou réponse avec seulement deux erreurs de calcul sur une des parties, avec explications claires et complètes
  ou réponse 161, ne tenant pas compte des élèves qui ne mangent pas de fruits, avec explication claire.
• 1 point: Début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème