Banque de problèmes du RMT
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Déterminer les nombres entiers de trois chiffres tels que, en remplaçant le chiffre des dizaines par une virgule, on obtient un résultat qui est la 90e partie du nombre.
Analyse a priori:
- Comprendre la situation : en substituant le chiffre des dizaines d’un nombre naturel de trois chiffres, on obtient un nouveau nombre qui, multiplié par 90 donne le nombre de départ.
- Comprendre que la procédure par essais de division ou de multiplication par 90 est longue et ne va pas permettre de trouver toutes les solutions.
- Remarquer que le nombre obtenu après la substitution a un seul chiffre après la virgule et que, pour revenir au nombre de départ il faut le multiplier par 90, c’est-à-dire par 10 et par 9. Après la multiplication par 10 le nombre décimal deviendra un nombre entier, puis après la multiplication par 9 il deviendra un multiple de 9 – le nombre de départ - dont le chiffre des unités est le même que celui des dixièmes du nombre décimal.
- Constater que le chiffre des unités, devenu dixièmes, ne peut être 0 car, sinon, le nombre substitué serait entier et égal à celui des centaines du nombre d’origine : le produit d’un nombre par 90 ne peut être égal à son produit par 100. Même constatation pour le chiffre des centaines du nombre d’origine qui est un « nombre entier de trois chiffres ».
- Remarquer que 5 est le seul chiffre des unités qui se retrouve dans ses multiples de 9. Par conséquent le dernier chiffre des deux nombres est 5. Il suffit d’essayer avec les dix nombres d’un chiffe des unités et d’un chiffre des dixièmes : 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; … ; 9,5, de les multiplier par 90 et de constater que seuls les quatre premiers essais sont acceptables : 135 ; 225 ; 315 ; 405 les suivants ne remplissent pas les conditions 495 pour 5,5, etc.
Ou,
- Partir de la recherche des nombres de Marthe comme multiples de 90 des nombres de Stéphane, donc des multiples entiers de 9 et limiter les essais aux nombres 108 117 126 135 (=15×9) ….207 216 225 (= 25 × 9) … 307 316 315 (= 35 × 9) … 405 (= 45 × 9) et constater qu’il n’y en a plus après 500. (Lorsque le premier est trouvé, 135, on peut y ajouter 90 successivement pour trouver les autres).
Ou,
- Par voie algébrique, les deux nombres peuvent s’écrire : 100x + 10y + z et x + z/10.
De la condition (x + z/10) × 90 = 100x + 10y + z on tire 10(x + y) = 8z, puis 5(x + y) = 4z, dont l’unique solution est z = 5 et (x + y ) = 4, car z représente un chiffre (0 ≤ z ≤ 9), et les valeurs de x et y (sachant que x ne peut être 0) sont dans l’ordre : 1 et 3; 2 et 2; 3 et 1; 4 et 0.
Les nombres que peut avoir écrits Marthe sont donc 100 × 1+10 × 3 + 5 = 135; 100 × 2 +10 × 2 + 5 = 225; 100 × 3 + 10 × 1 + 5 = 315; 100 × 4 + 10 × 0 + 5 = 405.
Cette procédure, comme les précédentes, permet d’assurer l’exhaustivité.
numération, nombre naturel, nombre décimal, chiffre, virgule, division, dizaine, centaine, unité, dixième
Points attribués sur 403 classes de 8 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 55 (27%) | 22 (11%) | 19 (9%) | 72 (35%) | 39 (19%) | 207 | 2.09 |
| Cat 10 | 34 (17%) | 25 (13%) | 42 (21%) | 48 (24%) | 47 (24%) | 196 | 2.25 |
| Total | 89 (22%) | 47 (12%) | 61 (15%) | 120 (30%) | 86 (21%) | 403 | 2.17 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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