ARMT

Banca di problemi del RMT

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Numeri particolari

Identificazione

Rally: 26.I.18 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: OPN, AL, NU
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Individuare i numeri naturali di tre cifre tali che, sostituendo la cifra delle decine con una virgola, si ottenga un numero corrispondente alla loro 90-esima parte.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere la situazione: scelto un numero di tre cifre, sostituendo la cifra delle decine con una virgola, se ne ottiene un altro che moltiplicato per 90 dà il numero di partenza.

- Comprendere che la procedura per tentativi, dividendo o moltiplicando per 90 è lunga e non permette di trovare tutte le soluzioni

- Osservare che il numero ottenuto dopo la sostituzione ha una sola cifra dopo la virgola e che, per tornare al numero di partenza, bisogna moltiplicarlo per 90, cioè per 10 e per 9. Dopo la moltiplicazione per 10, il numero decimale diventerà un numero intero, poi dopo la moltiplicazione per 9, diventerà un multiplo di 9 - il numero di partenza - in cui la cifra delle unità è la stessa di quella dei decimi del numero decimale.

- Constatare che la cifra delle unità, che diventa quella dei decimi, non può essere 0, perché altrimenti il numero modificato sarebbe intero e uguale a quello delle centinaia del numero di origine: il prodotto di un numero per 90 non può essere uguale al suo prodotto per 100. Lo stesso dicasi per la cifra delle centinaia del numero di origine che è “un numero intero di tre cifre”).

- Osservare, che 5 è la sola cifra delle unità che si ritrova nei suoi multipli di 9, e di conseguenza l’ultima cifra dei due numeri deve essere 5. E’ sufficiente provare con i dieci numeri con una cifra delle unità e con una cifra dei decimi: 1,5, 2,5, 3,5; …; 9,5, moltiplicarli per 90 e constatare che solo i quattro primi tentativi (1,5; 2,5; 3,5 e 4,5) portano alla soluzione: 135; 225; 315; 405, infatti i successivi non rispettano la condizione, es. 5,5 × 90= 495, ecc.

Oppure:

- Partire dalla ricerca dei numeri di Marta e osservare che tali numeri devono essere multipli di 90 dei numeri di Stefano, quindi dei multipli interi di 9 e limitare i tentativi ai numeri 108 117 126 135 (=15×9) ….207 216 225(=25×9) … 307 316 315(=35×9) … 405(=45×9) e constatare che oltre 500 non si trovano altri numeri con le caratteristiche volute (una volta trovato il primo numero, 135, si può sommare via via 90 per ottenere tutti gli altri).

Oppure:

- Per via algebrica i due numeri possono essere scritti: 100x+10y+z e x+z/10. Dalla condizione (x+z/10)×90 =100x+10y+z si ricava 10(x+y)=8z, da cui 5(x+y)=4z. L’unica soluzione possibile è z=5 e (x+y)=4, poiché z rappresenta una cifra (0 ≤ z ≤ 9), e quindi i valori di x e y (tenendo conto che x non può essere 0) sono nell’ordine 1 e 3; 2 e 2; 3 e 1; 4 e 0. I numeri che potrebbe aver scritto Marta sono dunque 100×1+10×3+5 = 135; 100×2+10×2+5 = 225; 100×3+10×1+5 = 315; 100×4+10×0+5 = 405. Questa procedura assicura, come le precedenti, l’esaustività della soluzione.

Nozioni matematiche

numération, nombre naturel, nombre décimal, chiffre, virgule, division, dizaine, centaine, unité, dixième

Risultati

26.I.18

Punti attribuiti su 403 classi di 8 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 955 (27%)22 (11%)19 (9%)72 (35%)39 (19%)2072.09
Cat 1034 (17%)25 (13%)42 (21%)48 (24%)47 (24%)1962.25
Totale89 (22%)47 (12%)61 (15%)120 (30%)86 (21%)4032.17
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

(c) ARMT, 2018-2024