Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de cases d’une grille carrée, numérotées à partir de 1 en ordre croissant, de gauche à droite pour les lignes impaires et de droite à gauche pour les lignes impaires, connaissant les nombres de deux cases sur deux lignes différentes, de la même colonne, dont on ne connaît pas la position.
Analyse a priori:
- Comprendre la règle de numérotation des cases à partir de l'exemple donné.
- Se rendre compte que la partie entière de 140 / 6 est 23 et donc que le carré cherché aura plus de 23 lignes et colonnes ; construire des carrés simplifiés, en indiquant par exemple les nombres dans les cases de début ou de fin de ligne...
Ou,
- En appelant n le nombre de lignes et de colonnes de la grille carrée, se rendre compte que pour que 140 soit dans la sixième ligne, il faut utiliser des inégalités du type 5n+1 ≤ 140 ≤ 6n, ou, d'une manière analogue, 5n ≤ 139 et 140 ≤ 6n et obtenir les trois possibilités pour n : 25, 26, 27.
- Contrôler dans laquelle des grilles n × n avec n = 24, 25, 26, 27 si les cases 140 et 225 sont dans la même colonne, par exemple en écrivant les nombres des sixième et neuvième lignes et découvrir qu’il s’agit de la grille 26 × 26 dans laquelle 140 et 225 sont les deux en 17e position. Cette grille a donc 676 cases (= 26 × 26).
Ou bien,
- observer que la première ligne commence par 1, la deuxième par 2n, (pour une grille de n × n) vu que l’on s’est déplacé de n nombres vers la droite et n nombres vers la gauche. Et ainsi on trouvera 2n + 1 au début de la troisième, 4n pour la quatrième, 4n + 1 pour la cinquième, 6n pour la sixième… Le nombre 140 de la sixième ligne se situe dans une colonne dont le numéro est inconnu. Puisque, dans les lignes paires, les nombres diminuent de 1 en 1 en passant d’une colonne à la suivante vers la droite : 140 = 6n – x, où x est le nombre de cases dont on doit se déplacer vers la droite. Pour trouver le nombre 225 de la neuvième ligne qui commence par 8n + 1, dans laquelle les nombres croissent de 1, il faut se déplacer vers la droite de x colonnes. Donc 225 = 8n + 1 + x. On a ainsi les deux équations : 6n – x =140 et 8n + 1 + x = 225 d’où, par comparaison, on déduit 14n = 364 d’où n =26.
Ou bien,
- Sans passer par l’algèbre observer la grille donnée, et remarquer que pour calculer le premier terme de la quatrième ligne (colonne 1), on multiplie la dimension du carré (donc 5) par 4 et que les autres termes se calculent en ajoutant 1 en allant de gauche à droite. En déduire que pour calculer ceux de la sixième ligne du carré cherché, on peut faire de même en multipliant par 6. De même pour la ligne 8, on multipliera par 8.
On peut remarquer aussi que la somme des termes d’une même colonne des lignes 2 et 3 est égale à 21 (4 fois 5 plus 1), ceux des colonnes 4 et 5 à 41 (8 fois 5 plus 1). On peut déduire alors que la somme des termes de la ligne 8 et de la ligne 9 situés dans la même colonne est égale à 16 fois la dimension du carré cherché plus 1. Ce qui entraine que la somme des termes 140 et 225 est égale à 14 fois ( 16 fois moins 2 fois, la différence entre les lignes 6 et 8) la dimension de ce carré plus 1. On a : 140 + 225 = 365 ; 365 – 1 = 364 ; 364 : 14 = 26.
La dimension du carré cherché est 26 et le nombre de case est 676.
nombre naturel, suite, coordonnées, algèbre
Points attribués sur 398 classes de 8 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 125 (62%) | 25 (12%) | 5 (2%) | 21 (10%) | 27 (13%) | 203 | 1.01 |
| Cat 6 | 87 (45%) | 32 (16%) | 11 (6%) | 29 (15%) | 36 (18%) | 195 | 1.46 |
| Total | 212 (53%) | 57 (14%) | 16 (4%) | 50 (13%) | 63 (16%) | 398 | 1.23 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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