Le grand livre des problèmes

Identification

Rallye: 26.II.19 ; catégories: 9, 10 ; domaines: OPN, NU
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• DCP - Décomposer un nombre naturel
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver tous les couples de nombres consécutifs supérieurs à 1 et plus petits que 1000 tels qu'en faisant le produit des chiffres qui les composent, on obtienne un nombre donné (720).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que l’on doit chercher les couples de nombres consécutifs (chaque couple donne les deux numéros des pages de gauche et de droite quand le livre est ouvert) ; que ces nombres sont supérieurs à 1 et plus petits que 1000 ; que les couples de nombres sont de la forme pair-impair (avec le nombre impair indiquant la page de droite dans le livre ouvert, en étant donc le suivant de celui de la page de gauche).

- Se rendre compte que dans les numéros cherchés il ne peut pas figurer le chiffre 0, parce qu'il annulerait le produit.

- Se rendre compte que la condition pour trouver les numéros des couples de pages fait intervenir les décompositions du nombre 720 en produit de facteurs d'un chiffre, pas nécessairement premiers, et qu'il peut être utile de partir de sa décomposition en facteurs premiers pour obtenir les autres (720 = 24 × 32 × 5).

- Observer que les couples de pages ne peuvent pas être numérotés avec des nombres à un chiffre parce que le produit serait au plus 72 (= 8 × 9), mais par des nombres de deux ou de trois chiffres.

- Comprendre qu'il faut chercher 4 ou 6 nombres différents de zéro, qui sont les facteurs d'une décomposition de 720. On peut toujours insérer 1 comme facteur, lui aussi diviseur de 720.

- Comprendre que dans les couples cherchés, les deux nombres ont les chiffres des dizaines égaux et éventuellement ceux des centaines égaux parce que ces nombres doivent être consécutifs.

- On peut procéder de plusieurs manières. Par exemple :

se rendre compte que le 5, ne paraît qu'une seule fois dans la décomposition en facteurs premiers de 720, il doit donc occuper seulement la place des unités d'un des nombres qui constituent les couples cherchés, c'est-à-dire celui de la page de droite, parce qu'impair. L'autre numéro doit donc être le nombre précédent et donc finir par 4.

- Il reste à placer deux facteurs 3, deux facteurs 2 et éventuellement des facteurs 1. Trouver ainsi les couples (324, 325) et (234, 235). Puis remplacer les chiffres 2 et 3 par leur produit ce qui donne 64 et 65 et en utilisant le facteur 1, trouver aussi (164, 165) et (614, 615). (Dans le cas où par erreur on donnerait le 5 comme unité dans la page de gauche, les autres facteurs disponibles dans la décomposition de 720 ne permettraient pas d'utiliser le 6 pour les unités dans la page de droite).

Ou bien:

- Chercher d'abord de manière systématique les nombres consécutifs de deux chiffres avec le chiffre des unités impair, puis les nombres de trois chiffres toujours avec le chiffre des unités impair. Pour les nombres de deux chiffres, le 5 ne peut être placé comme dizaine, car pour aucun des couples de nombres consécutifs entre 52 et 59, le produit des chiffres donne 720. En outre, il faudrait deux fois le chiffre 5. Il faut donc chercher les couples de nombres de la forme (a4, a5) et le couple unique qui donne 720 comme produit des chiffres est (64, 65). Alors, on obtient tout de suite les deux couples de nombres de trois chiffres (164, 165) et (614, 615) dont les produits des chiffres est égal à 720, en multipliant par le facteur 1. Mais on obtient aussi les couples (234, 235) et (324, 325) en décomposant le 6 en 2×3.

Ou bien (de manière plus experte):

- On peut faciliter la recherche en utilisant la décomposition en facteurs premier de 720 (= 24 × 32 ×5). Les quatre chiffres impairs et uniques qui peuvent être des unités sont 1, 3, 5, 9. On doit exclure le chiffre 1 parce que le nombre précédent est 0. On doit exclure le chiffre 3 parce que les couples de nombres de la forme (ab2, ab3) ne peuvent pas donner 720 comme produit des chiffres, car a2 × b2 × 6 = 720 n'a pas solutions entières pour a et b (120 n’est pas un carré parfait). Le chiffre 9 est à exclure pour le même motif (a2 × b2 × 72 = 720 seulement si a2 × b2 = 10 !). Il ne reste que le chiffre 5 comme unité et a2 × b2 × 20 = 720 a pour solution a × b = 6. On trouve les couples de nombres déjà déterminés.

Ou bien (de manière plus pragmatique):

- On peut déduire que les chiffres des unités ne peuvent être que 4 et 5 car c’est le seul couple de chiffres dont le produit est un multiple de 10 (donc non nul). On a 4 × 5 = 20, 720 : 20 = 36. Le produit des chiffres des dizaines et des centaines qui composent les deux numéros est donc égal à 36. On pense normalement aux chiffres 6, seuls ou combinés avec 1 et aux chiffres 2 et 3 car le produit est égal à 6. Ce qui donne 6 (car 6 × 6 = 36), 16 et 61 (car 6 × 1 × 6 × 1 = 36), 23 (car 2 × 3 × 2 × 3 = 36), 32 (pour la même raison). Les combinaisons des chiffres 2, 3, 1 et 4 ou 5 ne donneront pas un nombre inférieur à 1000.

Notions mathématiques

nombre naturel, numération, consécutif, couple, chiffre, multiplication, produit

Résultats

26.II.19

Points attribués sur 398 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte, les cinq couples possibles: (64, 65) ; (164, 165) ; (234, 235) ; (324, 325) ; (614, 615), avec explication claire et complète du procédé suivi qui montre l'exhaustivité.
• 3 points: Trois ou quatre couples corrects, avec des calculs qui montrent la recherche et la vérification des conditions données par le problème ;
  ou deux couples corrects, mais avec une argumentation claire sur quelques aspects ponctuels, par exemple sur le rôle du chiffre 5, ou sur la présence de facteurs carrés dans la décomposition de 720,
  ou cinq couples possibles, avec des explications insuffisantes.
• 2 points: Un ou deux couples de nombres corrects, avec des calculs qui montrent la recherche et la vérification des conditions données par le problème ;
  ou deux ou trois couples corrects sans explications ;
  ou deux couples corrects avec d’autres couples erronés, avec des explications.
• 1 point: Début de raisonnement correct, avec la compréhension du fait que le nombre 720 doit être le produit des chiffres de deux nombres consécutifs des numéros des pages. Accepter comme début de raisonnement des tentatives erronées, mais qui tiennent compte de ces considérations.
• 0 point: Incompréhension du problème.

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