ARMT

Banca di problemi del RMT

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Il grande libro dei problemi

Identificazione

Rally: 26.II.19 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: OPN, NU
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare tutte le coppie di numeri consecutivi maggiori di 1 e minori di 1000 tali che facendo il “prodotto delle cifre” che compaiono in essi si ottenga un numero assegnato (720).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere che si devono cercare coppie di numeri consecutivi (ciascuna coppia fornisce i due numeri delle pagine di destra e di sinistra nel libro aperto); che tali numeri sono maggiori di 1 e minori di 1000; che le coppie di numeri sono della forma pari-dispari (con il numero dispari che indica la pagina di destra nel libro aperto ed è quindi il successivo di quello della pagina di sinistra).

- Rendersi conto che nei numeri cercati non può comparire la cifra 0, perché annullerebbe il prodotto.

- Rendersi conto che la condizione per trovare i numeri delle coppie di pagine fa intervenire le scomposizioni del numero 720 in fattori di una cifra, non necessariamente primi, e che può servire proprio partire dalla scomposizione in primi (720 = 24 × 32 × 5) per ottenere le altre.

- Osservare che le coppie di pagine non possono essere numerate con numeri ad una cifra perché il prodotto sarebbe al massimo 72 (= 8 × 9), ma da numeri di due o di tre cifre.

- Capire che occorre cercare 4 o 6 numeri diversi da zero, fattori di una scomposizione del 720. Si può sempre inserire l’1 come fattore, anch’esso divisore di 720.

- Capire che, nelle coppie cercate, i due numeri hanno uguali cifre delle decine ed eventualmente quelle delle centinaia perché questi numeri devono essere consecutivi.

- Si può procedere in più modi. Ad esempio: rendersi conto che il 5, che compare una sola volta nella scomposizione in fattori primi di 720, può stare solo al posto delle unità di uno dei numeri che costituiscono le coppie cercate, cioè quello della pagina di destra perché dispari. L’altro numero deve essere quindi il numero pari precedente e perciò finire per 4.

- Rimangono così da sistemate due fattori 3, due fattori 2 ed eventualmente fattori 1. Trovare così le coppie (324, 325) e (234, 235). Poi sostituire le cifre 2 e 3 con il loro prodotto e trovare 64 e 65 e, utilizzando il fattore 1, trovare anche (164, 165) e (614, 615). (Nel caso in cui erroneamente si considerasse il 5 al posto delle unità nella pagina di sinistra, gli altri fattori disponibili nella scomposizione di 720, non consentirebbero di utilizzare il 6 per le unità nella pagina di destra).

Oppure

- Cercare dapprima in modo sistematico numeri consecutivi di due cifre con la cifra delle unità dispari e poi numeri di tre cifre sempre con la cifra delle unità dispari. Per i numeri di due cifre, il 5 non potrà stare nella posizione delle decine, perché per nessuna delle coppie di numeri consecutivi fra 52 e 59 il prodotto delle cifre dà 720. Inoltre occorrerebbe due volte la cifra 5. Occorre quindi cercare le coppie di numeri della forma (a4, a5) e l’unica coppia che dà 720 come prodotto delle cifre è (64, 65). A questo punto si ottengono subito le altre due coppie di numeri di tre cifre (164, 165) e (614, 615) il cui prodotto delle cifre è 720, moltiplicando per il fattore 1. Ma si ottengono anche le coppie (234, 235); (324, 325) scomponendo il 6 come 2×3.

Oppure (in modo più esperto)

- Si può facilitare la ricerca utilizzando la scomposizione in fattori primi di 720 (= 24 × 32 × 5). Le quattro cifre dispari e uniche che possano stare al posto delle unità sono: 1, 3, 5, 9. Si deve escludere la cifra 1 perché il numero precedente è lo 0. Si deve escludere la cifra 3 perché le coppie di numeri della forma (ab2 , ab3) non possono dare 720 come prodotto delle cifre poiché a2 × b2 × 6 = 720 non ha soluzioni intere per a e b (120 non è un quadrato perfetto). La cifra 9 è da escludere per lo stesso motivo (a2 × b2 × 72 = 720 solo se a2 × b2 = 10 !). Rimane solo la cifre 5 al posto delle unità e a2 × b2 × 20 = 720 ha per soluzione a × b = 6. Si trovano così esattamente le coppie di numeri già individuate.

Oppure (in modo più pragmatico):

- Si può dedurre che le cifre delle unità non possono essere che 4 e 5 perché è la sola coppia di cifre il cui prodotto è un multiplo di 10 (quindi non nullo). Si ha 4 × 5 = 20, 720 : 20 = 36. Il prodotto delle cifre delle decine e delle centinaia che compongono i due numeri è quindi uguale a 36. Si pensa normalmente alle cifre 6, sole o combinate con 1, e alle cifre 2 e 3 perché il prodotto è uguale a 6. Ciò dà 6 (perché 6 × 6 = 36), 16 e 61 (perché 6 × 1 × 6 × 1 = 36), 23 (perché 2 × 3 × 2 × 3 = 36), 32 (per la stessa ragione). Le combinazioni delle cifre 2, 3, 1 e 4 o 5 non daranno un numero inferiore a 1000.

Nozioni matematiche

nombre naturel, numération, consécutif, couple, chiffre, multiplication, produit

Risultati

26.II.19

Punti attribuiti su 398 classi di 8 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 962 (31%)11 (5%)78 (38%)37 (18%)15 (7%)2031.67
Cat 1044 (23%)14 (7%)65 (33%)40 (21%)32 (16%)1952.01
Totale106 (27%)25 (6%)143 (36%)77 (19%)47 (12%)3981.83
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

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