Une étrange multiplication

Identification

Rallye: 26.F.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPN, NU
Familles:

• ALG - Utiliser un algorithme
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• LAC - Compléter des calculs lacunaires
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

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Résumé

Reconstituer une multiplication d’un facteur de trois chiffres par un facteur de deux chiffres selon une disposition en colonnes « vide », en sachant que seuls les chiffres 2, 3, 5 et 7 ont été utilisés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre qu’il faudra procéder par essais, en commençant par les chiffres des unités des deux facteurs.

- Vérifier d'abord que seuls cinq couples de chiffres des unités sont possibles (3 ; 5), (5 ; 3) (5 ; 5), (5 ; 7), (7 ; 5). Les autres couples conduisent en effet à un chiffre des unités dans le premier produit qui n'est pas sur la liste autorisée, comme : 7 × 3 = 21 donnerait 1 au chiffre des unités.

- Choisir un couple (3 ; 5) par exemple, et continuer par la recherche du chiffre des dizaines du premier facteur. Dans cet exemple, il y a une retenue de 1 et le produit de 5 par chacun des autres chiffres autorisés, plus la retenue de 1, donne 6 ou 1 et ne convient donc pas ! (fig. 1)

- Essayer ensuite (5 ; 3). Le chiffre des dizaines du premier facteur ne peut être que 7 selon le raisonnement précédent et qui conduit à 2 comme chiffre des dizaines du premier produit partiel. (fig. 2)

Le chiffre des centaines du premier facteur est aussi 7, ce qui donne 2 et 3 pour les deux premiers chiffres du premier produit partiel. (fig. 3).

- Pour les mêmes raisons, le chiffre des dizaines du deuxième facteur ne peut être que 3. (fig. 4)

- Vérifier enfin que le résultat ne contient que les chiffres 2 ; 3 ; 5 ou 7, ce qui donne la solution. (fig. 5)

Comme l’énoncé dit qu’il n’y a qu’une solution, il n’est plus nécessaire de vérifier les couples (5 ; 7), (7 ; 5) e (5 ; 5) de la liste initiale. Mais si on essaye l’un de ces trois couples avant (5 ; 3), on aboutit dans chaque cas à une impasse : rapidement avec (7 ; 5) en raison du reste de 3 qui ferait apparaître un 8 dans les dizaines du premier quotient partiel, un peu plus loin pour le cas du couple (5 ; 7); lors de l’addition finale pour le couple (5 ; 5) car les produits partiels peuvent être 5 × 555 = 2775 mais le produit final contient deux chiffres non autorisés : 55 × 555 = 30525.

Notions mathématiques

algorithme, multiplication, facteur, numération, chiffre, millier, centaine, dizaine, unité, casse-tête

Résultats

26.F.14

Points attribués, sur 149 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (775 × 33) avec explication de la démarche (étapes intermédiaires, impasses …)
• 3 points: Réponse correcte avec explication partielle ou confuse
• 2 points: Réponse correcte sans aucune explication
• 1 point: Début de recherche correct, avec au moins un couple possible pour les unités
• 0 point: Incompréhension du problème

Bibliographie

réf Drôle de multiplication, 15.F.15