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Banca di problemi del RMT

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Una strana moltiplicazione

Identificazione

Rally: 26.F.14 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: OPN, NU
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Ricostruire una moltiplicazione tra un fattore di tre cifre e un fattore di due cifre secondo un algoritmo di cui viene dato lo schema vuoto, sapendo che devono essere utilizzate solo le cifre 2, 3, 5 e 7.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Verificare dapprima sistematicamente i prodotti delle possibili cifre delle unità e constatare che sono possibili solo cinque coppie (3;5), (5;3) (5;5), (5;7), (7;5). Le altre coppie conducono infatti ad una cifra delle unità nel primo prodotto che non è nella lista delle cifre autorizzate, come per esempio 7 × 3 = 21 che dà 1 come cifra delle unità.

- Scegliere una coppia, ad esempio (3;5), e continuare con la ricerca delle cifre delle decine del moltiplicando. In questo esempio, poiché c’è il riporto di 1, il prodotto di 5 per ciascuna delle cifre (numero) autorizzate, più il riporto 1, dà 6 oppure 1 e non va bene (fig. 1).

- Provare poi, ad esempio, con la coppia (5;3). La cifra delle decine del moltiplicando può essere solo 7 (per il ragionamento precedente del riporto 1 e di un prodotto che porti ad una cifra consentita: 3×7 = 21 che con il riporto 1 arriva alla somma avente come cifra delle decine 2 (fig. 2)). Negli altri casi si arriva ad una cifra delle decine, non consentita.

- Capire che anche la cifra delle centinaia del moltiplicando non può che essere 7, cosa che porta ad avere 2 e 3 per le prime due cifre del primo prodotto parziale (fig. 3). Lo stesso ragionamento permette di constatare che la cifra delle decine del moltiplicatore non può che essere 3 (fig. 4)

- Verificare, infine, che il risultato contiene le sole cifre consentite 2, 3, 5 e 7, cosa che dà la soluzione cercata (fig. 5):


Come è detto nell’enunciato, c’è una sola soluzione. Non è dunque necessario verificare a partire dalle coppie (5;7), (7;5) 𝑒 (5;5) della lista iniziale. Ma, se si prova con una di queste tre coppie prima della coppia (5;3), si arriva in ogni caso ad un vicolo cieco: rapidamente con (7;5), a causa del resto di 3 che farebbe apparire un 8 nelle decine del primo quoziente parziale e un po’ dopo nel caso della coppia (5;7); nell’addizione finale per la coppia (5;5) poiché i prodotti parziali possono essere 5×555=2775, ma il prodotto finale contiene due cifre non autorizzate 55 × 555 = 30525.

Nozioni matematiche

algorithme, multiplication, facteur, numération, chiffre, millier, centaine, dizaine, unité, casse-tête

Risultati

26.F.14

Punti attribuiti, su 149 classi di 18 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 723 (45%)10 (20%)6 (12%)8 (16%)4 (8%)511.22
Cat 89 (19%)11 (23%)7 (15%)14 (30%)6 (13%)471.94
Cat 97 (26%)2 (7%)4 (15%)4 (15%)10 (37%)272.3
Cat 106 (25%)3 (13%)2 (8%)6 (25%)7 (29%)242.21
Totale45 (30%)26 (17%)19 (13%)32 (21%)27 (18%)1491.8
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

Bibliografia

cfr. Una strana moltiplicazione, 15.F.15

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