Un ruban bien colorié

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Rallye: 27.I.01 ; catégorie: 3 ; domaine: OPN
Famille:

• PER - Traiter une suite périodique

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver le 103^e élément d’une suite composée de 6 éléments répétés périodiquement (couleurs RJJBBB).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Se représenter ou construire un ruban (ou une partie) des nombres naturels de 1 à 103 et colorier les cases en rouge, jaune, jaune, bleu, bleu, bleu, rouge …

- Se rendre compte que le coloriage se répète à l’identique toutes les 6 cases.

Pour déterminer la couleur de la case 103 on peut :

- numéroter toute la bande jusqu’à 103, colorier les cases et observer que la couleur de la case 103 est rouge, s'il n’y a pas d’erreur dans la numérotation ni dans le coloriage périodique

- passer dans le domaine numérique, repérer la période de 6 et constater que les cases 1, 7, 13, 19, 25, … 31, 37, 45, …, 91, 97, 103 sont rouges ;

- utiliser une méthode plus courte en reconnaissant des multiples de 6 ou d’autres régularités.

Notions mathématiques

nombre naturel, suite périodique, période, dénombrement

Résultats

27.I.01

Points attribués sur 686 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (rouge), qui montre clairement et complètement la procédure suivie (dessin ou comptage sans erreur, montrant bien comment a été établi que la case 103 est rouge)
• 3 points: Réponse correcte avec une procédure incomplète ou confuse (par exemple, le début de la bande est correctement colorié mais la détermination de la couleur de la case 103 n’est pas clairement explicitée)
  ou absence de réponse (rouge), mais la procédure est claire et complète
• 2 points: Réponse correcte avec au moins les 7 premières cases correctement coloriées
  ou réponse erronée comportant une ou deux erreurs dans la suite complète jusqu’à la case 103 (mais sans erreur au moins jusqu’à la 12^e case)
• 1 point: Réponse correcte sans explication ni dessin
  ou réponse erronée, mais début de recherche correcte
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

La grande majorité des groupes a procédé par coloriage de cases sur papier quadrillé, parfois en y inscrivant les numéros jusqu’à 103, parfois sans les noter mais en déterminant l’ordre par comptage ou récitation de la suite de nombres. Par exemple : Nous avons trouvé la réponse en faisant une ligne de 103 puis nous avons vu de quelle couleur était le 103 qui est rouge.

On ne relève que des erreurs de comptage ou de coloriage dues à la longue suite de cases

Exploitations didactiques

Dans cette version, le problème n’a pas beaucoup d’intérêt mathématique, si ce n’est la rigueur du coloriage des cases. Pour que les élèves comprennent la nécessité de quitter le registre purement graphique pour passer au domaine numérique, il faudrait augmenter sensiblement le nombre de cases et passer, par exemple à 623. A ce moment le dessin ou le coloriage sont trop exigeants en temps et précision et il est nécessaire de passer par la période, 6, déterminée par la règle de succession des cases : 1 rouge, 2 jaunes 3 bleues, pour remarque par exemple que les dernières cases d’une séquence périodique sont les 6e, 12e, 18e, 24e, … du ruban. La notion qui apparaît ainsi est celle des multiples de 6. Pour trouver la valeur de la 623e case, on pourra ainsi, pour la version proposés, éviter la construction fastidieuse des 600 premières, et passer directement à la 606e, 612e, 618e, 624e et déterminer que la 623e est de couleur bleue. L’institutionnalisation de la motion de « multiple » dépend bien évidemment du programme déterminé par l’enseignant, on peut se contenter, pour de jeunes élèves, d’avoir vu les « nombres obtenus par sommes de 6, ou par les multiplcations par 6.»

Voir aussi: La chambre de mon cousin (16.I.07)

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