Le petit Poucet

Identification

Rallye: 27.I.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• PRG - Traiter des progressions
• PRG/PA - Traiter des progressions arithmétiques

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer la suite des sommes des nombres consécutifs à partir de 1 (1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; …) jusqu’au premier terme supérieur à 62, calculer la différence entre ce terme et 62 et déterminer le nombre de termes de la suite.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre la règle de succession du nombre de cailloux, marche par marche, à partir des trois exemples donnés et de « ainsi de suite » : « 1 sur la première marche, puis, pour les marches suivantes, un de plus que sur la marche précédente et se rendre compte qu’il s’agit de la suite des nombres naturels consécutifs, 1, 2, 3, 4, 5, …

- Schématiser l'escalier et les cailloux sur chaque marche et les dénombrer jusqu'à un total inférieur à 62 et compléter le nombre de cailloux manquants sur la marche suivante, puis dénombrer les marches.

- Additionner au fur et à mesure de la montée dans l’escalier les nombre de cailloux déjà posés sur chaque marche et les précédentes : 1, puis 1 + 2 = 3, puis 3 + 3 = 6, puis 6 + 4 = 10 pour obtenir la suite 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 55, 66. Ces deux derniers nombres sont les nombres de cailloux qui devraient être déposés sur les marches, respectivement jusqu’à la 10e et à la 11e marches. Comme le Petit Poucet n’a que 62 cailloux, il lui en manque 4 pour arriver à 66 et pouvoir poser 11 cailloux sur la 11e marche.

Ou

Soustraire 1, puis 2, puis 3 … à 62 pour trouver : 61 = 62 – 1 après la 1ère marche, 59 = 61 – 2 après la 2e marche, puis 56, 52, 47, 41, 34, 26, 17, 7 après la 10e marche et constater qu’il manquera 4 cailloux pour pouvoir en déposer 11 sur la 11e marche.

Ou

Dessiner les cailloux sur un schéma d’escalier et les compter progressivement, sans opérations arithmétiques.

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, soustraction, nombre triangulaire, suite, succession, dénombrement

Résultats

27.I.02

Points attribués sur 1528 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (l’escalier a 11 marches et il manque 4 cailloux pour la 11e marche) avec des explications « claires » (où apparaît la suite des nombres 1, 3, 6, 10 … 55 ou 66 selon le type de procédure, avec ou sans les additions ou la suite des nombres décroissants avec ou sans les soustractions successives, ou encore le dessin des cailloux déposés sur chaque marche avec 7 cailloux sur la 11e ou l’addition 1 + 2 + 3 + … + 10 + 7 = 62)
• 3 points: Réponse correcte et complète avec explication partielle
  ou réponse « 11 marches », sans le nombre de cailloux manquants, mais avec explication claire.
  ou réponse erronée mais cohérente (10 marches et il reste 7 cailloux ou 10 marches et il manque 4 cailloux ou 11 marches avec 7 cailloux sur la 11e marche), avec explication claire
• 2 points: Réponse correcte et complète sans explication
  ou réponse erronée mais cohérente due à une seule erreur de calcul, avec explications (11 marches avec une erreur dans le nombre de cailloux qui manquent, ou 12 marches ou 10 marches et des nombres de cailloux correspondants)
• 1 point: Réponse « 11 marches » sans le nombre de cailloux manquants, ou « 4 cailloux » sans le nombre de marches, sans explication
  ou début de résolution avec les premiers termes de la suite
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

La procédure la plus fréquente relevée est celle consistant à dessiner les cailloux en suivant les instructions de l’énoncé. Il y a une grande variété de schémas d’escaliers selon cette procédure : montant et descendant, non alignés, sans régularités … ; mais l’organisation est toujours la même : un caillou, puis deux. puis trois, … jusqu’à dix et sept cailloux dans le 11e groupe pour arriver à 62, puis quatre cailloux distincts des autres pour compléter le 11e groupe. Certaines fois tous les nombres sont écrits, certaines fois seulement les totaux intermédiaires, certaines fois aucun nombre n’est écrit mais les cailloux ont été comptés un à un.

Lorsque les cailloux ne sont pas dessinés, le schéma de l’escalier est complété par les nombres sur chaque marche et les totaux intermédiaires.

On trouve aussi quelques copies où les élèvent procèdent par soustractions successives à partir de 62 : 62 – 1 = 61 ; 61 – 2 = 59 ; 59 – 3 = 56 ; … ; 26 – 9 = 17 ; 17 – 10 = 7 ; pour constater que 7 – 11 n’est plus possible car il manquerait 4 (ou parfois la poursuite des écritures soustractive jusqu’à 7 – 11 = 4 ce qui n’est pas très correct du point de vue mathématique, mais ne semble pas déranger les élèves)

Les réponses fausses sont en générale dues à des erreurs de calcul ou de comptage dans l’une des 11 étapes de la séquence, ou à des confusions entre marches et cailloux ou à des incompréhensions de la situation.

Exploitations didactiques

Le problème peut être exploité à des fins d’apprentissage, pour autant que la résolution aille au-delà des procédures graphiques uniquement (dessin et comptage un à un). Si nécessaire, on peut augmenter le nombre de cailloux (au-delà de 120) pour que les élèves quittent le mode graphique ou manipulatoire et qu’ils passent dans le registre numérique, en écrivant la suite des termes 1 ; 3 ; 6 ; 10, 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; 55 ; 66 ; 78 ; 91 ; 105 ; 120 ; 136 ; … très intéressante par sa règle de construction.

(c) ARMT, 2019-2024