Pollicino

Identificazione

Rally: 27.I.02 ; categorie: 3, 4 ; ambito: OPN
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• PRG - Gestire progressioni
• PRG/PA - Gestire progressioni aritmetiche

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Sunto

Determinare la successione delle somme dei numeri consecutivi a partire da 1: 1; 3; 6; 10; 15; ...; fino al primo termine superiore a 62, calcolare la differenza tra questo termine e 62 e determinare quindi il numero dei termini della successione.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere la regola di successione del numero di sassi, gradino per gradino, a partire dai tre esempi dati e di «così via»: 1 sul primo gradino, poi, per i gradini successivi, uno in più rispetto al gradino precedente e rendersi conto che si tratta della successione dei numeri naturali consecutivi, 1, 2, 3, 4, 5, ...

- Schematizzare la scala e i sassi su ciascun gradino, contare i sassi fino ad averne in tutto meno di 62 e completare il numero dei sassi mancanti sul gradino successivo, poi contare i gradini.

- Addizionare, mano a mano che si sale la scala, il numero di sassi già depositati su ciascun gradino e sui precedenti: 1, poi 1+2=3,poi3+3=6,poi6+4=10perottenerelasuccessione1,3,6,10,15,21,28,36,45, 55,66.Questiultimidue numeri sono i numeri dei sassi che dovrebbero essere depositati su tutti i gradini arrivati rispettivamente al 10° e 11° gradino. Siccome Pollicino ha solo 62 sassi gliene mancano 4 per arrivare a 66 e poterne posare 11 sull‘11° gradino.

Oppure:

- sottrarre 1, poi 2, poi 3... a 62 e trovare: 61 = 62 – 1 dopo il 1°gradino, 59 = 61- 2 dopo il 2°gradino, poi 56, 52, 47, 41, 34, 26, 17, 7 dopo il 10° gradino e constatare che mancheranno 4 sassi per poterne depositare 11 sull‘ 11°gradino.

Nozioni matematiche

numero naturale, addizione, sottrazione, numero triangolare, serie, successione, conteggio

Risultati

27.I.02

Punti attribuiti su 1528 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta e completa (la scala ha 11 gradini e mancano 4 sassi per l’11°gradino) con spiegazione chiara (dove appaia la successione dei numeri 1, 3, 6, 10 ...55 o 66 secondo il tipo di procedura, con o senza le addizioni o la sequenza dei numeri decrescenti con o senza le sottrazioni successive, o ancora il disegno dei sassi depositati su ciascun gradino con 7 sassi sull’undicesimo o l’addizione 1 + 2 + 3 + ... + 10 + 7 = 62)
• 3 punti: Risposta corretta e completa con descrizione parziale
  oppure risposta: «11 gradini», senza il numero di sassi mancanti, ma con spiegazione chiara
  oppure risposta errata ma coerente (10 gradini e restano 7 sassi oppure 10 gradini e mancano 4 sassi oppure 11 gradini con 7 sassi sull’11° gradino), con spiegazione chiara
• 2 punti: Risposta corretta e completa senza spiegazioni
  oppure risposta errata ma coerente dovuta ad un solo errore di calcolo, ma con spiegazione (11gradini con un errore nel numero dei sassi mancanti oppure 12 gradini o 10 gradini e i numeri di sassi corrispondenti)
• 1 punto: Risposta: «11 gradini», senza il numero di sassi mancanti, o « 4 sassi» senza il numero dei gradini, senza descrizione del procedimento
  oppure inizio di risoluzione con i primi termini della successione
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La procédure la plus fréquente relevée est celle consistant à dessiner les cailloux en suivant les instructions de l’énoncé. Il y a une grande variété de schémas d’escaliers selon cette procédure : montant et descendant, non alignés, sans régularités … ; mais l’organisation est toujours la même : un caillou, puis deux. puis trois, … jusqu’à dix et sept cailloux dans le 11e groupe pour arriver à 62, puis quatre cailloux distincts des autres pour compléter le 11e groupe. Certaines fois tous les nombres sont écrits, certaines fois seulement les totaux intermédiaires, certaines fois aucun nombre n’est écrit mais les cailloux ont été comptés un à un.

Lorsque les cailloux ne sont pas dessinés, le schéma de l’escalier est complété par les nombres sur chaque marche et les totaux intermédiaires.

On trouve aussi quelques copies où les élèvent procèdent par soustractions successives à partir de 62 : 62 – 1 = 61 ; 61 – 2 = 59 ; 59 – 3 = 56 ; … ; 26 – 9 = 17 ; 17 – 10 = 7 ; pour constater que 7 – 11 n’est plus possible car il manquerait 4 (ou parfois la poursuite des écritures soustractive jusqu’à 7 – 11 = 4 ce qui n’est pas très correct du point de vue mathématique, mais ne semble pas déranger les élèves)

Les réponses fausses sont en générale dues à des erreurs de calcul ou de comptage dans l’une des 11 étapes de la séquence, ou à des confusions entre marches et cailloux ou à des incompréhensions de la situation.

Indicazioni didattiche

Le problème peut être exploité à des fins d’apprentissage, pour autant que la résolution aille au-delà des procédures graphiques uniquement (dessin et comptage un à un). Si nécessaire, on peut augmenter le nombre de cailloux (au-delà de 120) pour que les élèves quittent le mode graphique ou manipulatoire et qu’ils passent dans le registre numérique, en écrivant la suite des termes 1 ; 3 ; 6 ; 10, 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; 55 ; 66 ; 78 ; 91 ; 105 ; 120 ; 136 ; … très intéressante par sa règle de construction.