Les tablettes de chocolat

Identification

Rallye: 27.I.03 ; catégories: 3, 4 ; domaines: OPN, PR
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• SP - Traiter des suites proportionnelles
• SP/VER - Vérifier des correspondances

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le ou les prix erronés parmi quatre couples « quantité/prix » donnés, avec des nombres naturels inférieurs à 25.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Observer le dessin et constater qu’il y a quatre lots de tablettes dont le prix (première grandeur) est indiqué (12, 15, 21 et 24) et que les quatre valeurs d’une deuxième grandeur : le nombre de tablettes dans chaque lot s’obtiennent par comptage(4, 5, 6 et 8)

- Mettre en correspondance les prix des lots et les nombres de tablettes (écriture côte à côte, ou l’un en dessous de l’autre ou autre).

Pour déterminer le ou les couples à écarter :

- Constater que 12, 15, 21 et 24 sont des multiples de 3 et vérifier par additions successives de 3 ou multiplications par 3 si le prix correspond au nombre de tablettes

ou

pour chaque couple vérifier par division du prix affiché par le nombre de tablettes que le prix unitaire est le même et découvrir que le quotient 21 : 6 = 3,6 est différent de 12 : 4 = 15 : 5 = 24 : 8 = 3

- Choisir un lot, déterminer le prix d’une tablette (3 € + 3 € + 3 € + 3 € = 12 € ou 4 x 3 € = 12 € ou 12 € : 4 = 3 €), vérifier si le prix déterminé est compatible avec les prix des autres lots et conclure qu’il n’y a qu’un lot pour lequel le prix est erroné, celui à 21 € qui devrait coûter 18 €.

Notions mathématiques

nombre naturel, multiplication, division, proportionnalité, rapport

Résultats

27.I.03

Points attribués sur 1528 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (21 € est le prix erroné) avec une explication claire (le prix explicite de 3 € par tablette vérifié pour chaque lot, ou la mise en évidence de la multiplication ou de la division par 3 entre valeurs correspondantes, ou irrégularités découvertes dans la progression additive)
• 3 points: Réponse correcte avec une explication peu claire ou incomplète (par exemple détermination du prix d’une tablette, mais absence de la vérification du prix des lots)
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou, en plus de 21 €, un des trois autres prix est considéré erroné suite à une erreur de calcul, avec explication claire et complète
• 1 point: Début de recherche correct (par exemple constat que les prix des lots de 4 tablettes à 12 € et de 8 tablettes à 24 € sont corrects ou seulement la recherche du prix d’une tablette dans un lot ou le constat que la croissance des prix ne correspond pas à la croissance du nombre de tablettes)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Parmi les procédures que nous désignons par « additives » on trouve des écritures de sommes de termes « 3 », comme par exemple :

3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 …. 3 + 3 + 3 + 3 + 3+ 3 = 18 non pas 21

ou des piles de « 3 » des piles « 3 », « 6 », « 9 », …. écrits sur chaque tablette ; ou encore des suites « 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 » avec le numéro d’ordre des termes pour constater que le 21 n’est pas le 6e terme. Les procédures « multiplicatives » ne sont pas très différentes de précédentes mais écrivent les additions répétées sous forme d’écritures de produits. Par exemple :

3 × 5 = 15 ; 3 × 4 = 12 ; 3 × 8 = 24 ; 3 × 6 = 18. Le prix qui est faux est 21

- On a fait des fois puis on a contrôlé avec une calculatrice.

Les procédures par division consistent à calculer le prix d’une tablette pour chaque paquet en constatant l’égalité des trois quotients 12 : 4 = 15 : 5 = 24 : 8 = 3 alors que le quotient 21 : 6 = 3,5.

Selon les copies observées - 80 de SR (25 + 55) et 227 de SI (112 + 115) - les fréquences de ces différentes procédures varient sensiblement de la catégorie 3 à la catégorie 4 et aussi d’une section à l’autre. Ces écarts sont certainements liés aux traditions locales ou nationales de l’introduction de la division, des manuels, des programmes, de la pratique des exercices de recherche de prix à l’unité, … Mais comme pour tous les problèmes, on trouve aussi une grande variété de présentation de solution, comme celle de l’exemple suivant, en langage d’élève, qui a décelé l’erreur dans le dessin (il manque une tablette) et non dans les données numériques.

Autre observation : Dans la très grande majorité des copies précisent, après avoir indiqué que le prix de 21 € est faux, les élèves précisent que c’est Joseph qui a raison . Pour eux, le contexte avec ses deux personnages et sa composante « affective », sont aussi important que la réponse à la question posée.

Exploitations didactiques

Ce problème était considéré, lors de son élaboration, comme une « situation de proportionnalité ». Mais il est évident, au vu des explications des élèves que ceux-ci n’ont pas fait appel aux propriétés de la proportionnalité entre les deux grandeurs, le prix des paquets et le nombre de tablettes qui les composent. L’énoncé indique que rapport de proportionnalité, le prix à l’unité, ne varie pas et n’est donc pas l’objet d’une recherche ou d’une interrogation ; la confrontation des termes des deux suites et de l’absence d’un correspondant pour 6 tablettes ou pour 21 €, (propriétés de la « somme » ou du « produit ») n’a jamais été évoquée dans le copies.

  nombres de tablettes : 	 4	5	 6	…	 8 
  prix :			12	15	…	21	24

Pour exploiter la proportionnalité, dans une situation analogue (Décoration (09.II.09) et ses variantes, de la famille Traiter des suites proportionnelles et Chercher des termes correspondants) où le nombre de tablettes n’est pas aussi évident.

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