Tavolette di cioccolato

Identificazione

Rally: 27.I.03 ; categorie: 3, 4 ; ambiti: OPN, PR
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• SP - Gestire successioni proporzionali
• SP/VER - Verificare delle corrispondenze

Remarque et suggestion

Sunto

Data una situazione di proporzionalità quantità / prezzo in cui tutti i numeri sono numeri naturali minori di 25, determinare il prezzo errato

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Osservare il disegno e constatare che ci sono quattro lotti di tavolette in cui il prezzo (prima dimensione) è indicato (12, 15, 21 e 24) e che si possono ottenere, da un conteggio, i quattro valori di una seconda grandezza: il numero di tavolette di ciascun lotto (4, 5, 6 e 8).

- Mettere in corrispondenza i prezzi delle pile con il numero delle tavolette (accostando le due liste di numeri o mettendoli uno sotto l’altro o in altro modo)

Per determinare le coppie da scartare:

- osservare le relazioni tra un valore di una delle grandezze e il valore corrispondente dell’altra grandezza e tenere valido quello che comune a tre delle quattro copie: la moltiplicazione per 3 ( suggerita dal fatto che 12, 15, 21 e 24 sono multipli di 3 o dalla tabellina del 3). La verifica permette di escludere le coppie 6 e 21 perchè 6 × 3  21. Il 3 può eventualmente essere esplicitato come il « prezzo di una tavoletta».

Oppure:

- osservare le regolarità additive tra i quattro valori ordinati di una stessa grandezza di 1 in 1 nei numeri delle tavolette : 4 5 6 7 8 di 3 in nei prezzi : 12 15 18 21 24 per constatare che 6 e 21 non sono in corrispondenza.

Oppure:

- scegliere una pila, determinare il prezzo di una tavoletta (3€ + 3€ + 3€ + 3€ = 12€ o 4 x 3€ = 12€ o 12€ : 4 = 3€) e verificare se il prezzo determinato è compatibile con i prezzi delle altre pile e concludere che c’è una pila in cui il prezzo è errato, questo prezzo è 21€ che deve essere sostituito con 18 €.

Nozioni matematiche

numero naturale, moltiplicazione, divisione, proporzionalità, rapporto

Risultati

27.I.03

Punti attribuiti su 1528 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (21 € è il prezzo sbagliato) con spiegazione chiara (esplicitato il prezzo di 3 € di una tavoletta verificato per ciascun lotto, oppure evidenziata la moltiplicazione o la divisione per 3 tra i valori corrispondenti, oppure scoperte le irregolarità nella progressione additiva)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara o incompleta (per esempio determinato il prezzo di una tavoletta, ma manca la verifica per gli altri pacchetti)
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure oltre a 21 € un altro prezzo considerato errato a causa di un errore di calcolo con spiegazione chiara e completa
• 1 punto: Inizio di ricerca corretto (per esempio la constatazione che i prezzi delle pile con 4 e con 8 tavolette sono corretti, oppure solo la ricerca del prezzo di una tavoletta di un pacchetto, oppure la constatazione che l’aumentare del numero delle tavolette non corrisponde all’aumento dei prezzi)
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Parmi les procédures que nous désignons par « additives » on trouve des écritures de sommes de termes « 3 », comme par exemple :

3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 …. 3 + 3 + 3 + 3 + 3+ 3 = 18 non pas 21

ou des piles de « 3 » des piles « 3 », « 6 », « 9 », …. écrits sur chaque tablette ; ou encore des suites « 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 » avec le numéro d’ordre des termes pour constater que le 21 n’est pas le 6e terme. Les procédures « multiplicatives » ne sont pas très différentes de précédentes mais écrivent les additions répétées sous forme d’écritures de produits. Par exemple :

3 × 5 = 15 ; 3 × 4 = 12 ; 3 × 8 = 24 ; 3 × 6 = 18. Le prix qui est faux est 21

- On a fait des fois puis on a contrôlé avec une calculatrice.

Les procédures par division consistent à calculer le prix d’une tablette pour chaque paquet en constatant l’égalité des trois quotients 12 : 4 = 15 : 5 = 24 : 8 = 3 alors que le quotient 21 : 6 = 3,5.

Selon les copies observées - 80 de SR (25 + 55) et 227 de SI (112 + 115) - les fréquences de ces différentes procédures varient sensiblement de la catégorie 3 à la catégorie 4 et aussi d’une section à l’autre. Ces écarts sont certainements liés aux traditions locales ou nationales de l’introduction de la division, des manuels, des programmes, de la pratique des exercices de recherche de prix à l’unité, … Mais comme pour tous les problèmes, on trouve aussi une grande variété de présentation de solution, comme celle de l’exemple suivant, en langage d’élève, qui a décelé l’erreur dans le dessin (il manque une tablette) et non dans les données numériques.

Autre observation : Dans la très grande majorité des copies précisent, après avoir indiqué que le prix de 21 € est faux, les élèves précisent que c’est Joseph qui a raison . Pour eux, le contexte avec ses deux personnages et sa composante « affective », sont aussi important que la réponse à la question posée.

Indicazioni didattiche

Ce problème était considéré, lors de son élaboration, comme une « situation de proportionnalité ». Mais il est évident, au vu des explications des élèves que ceux-ci n’ont pas fait appel aux propriétés de la proportionnalité entre les deux grandeurs, le prix des paquets et le nombre de tablettes qui les composent. L’énoncé indique que rapport de proportionnalité, le prix à l’unité, ne varie pas et n’est donc pas l’objet d’une recherche ou d’une interrogation ; la confrontation des termes des deux suites et de l’absence d’un correspondant pour 6 tablettes ou pour 21 €, (propriétés de la « somme » ou du « produit ») n’a jamais été évoquée dans le copies.

  nombres de tablettes : 	 4	5	 6	…	 8 
  prix :			12	15	…	21	24

Pour exploiter la proportionnalité, dans une situation analogue (pr1-it 09.II.09 Decorazioni et ses variantes, de la famille SP et SP/TC) où le nombre de tablettes n’est pas aussi évident.

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