Banque de problèmes du RMT
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Construire une suite de nombres naturels commençant par 4, dont chaque terme est la somme du terme précédent et de son double (progression géométrique de raison 3) et déterminer le rang du premier terme de cette suite supérieur à 300.
Analyse a priori:
- Saisir l’organisation de la lecture du livre : le premier jour (dimanche), 4 pages sont lues, le nombre de pages lues le 2e jour est le double du nombre de pages lues la veille (4 x 2 = 8). Pour connaitre le nombre de pages lues chaque jour suivant, il faut commencer par totaliser le nombre de pages lues les jours précédents (qui est aussi le numéro de la dernière page lue la veille) et doubler ce nombre.
- Effectuer les calculs, jour par jour en notant précisément les deux opérations : prendre le double du nombre total de pages déjà lues, puis lui additionner les pages déjà lues tous les jours précédents :
pages lues nombre total de pages lues en fin de journée
ou dernière page à laquelle on est arrivé
Dimanche 4 4
Lundi 2 × 4 = 8 8 + 4 = 12
Mardi 2 × 12 = 24 24 + 12 = 36
Mercredi 2 × 36 = 72 72 + 36 = 108
Jeudi 2 × 108 = 216 216 + 108 = 324
- Conclure que Marc lira la page 300 le jeudi.
nombre, nombre naturel, suite, progression géométrique, raison, récurrence, double, addition, rang
Points attribués sur 3105 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 330 (40%) | 335 (41%) | 110 (13%) | 20 (2%) | 32 (4%) | 827 | 0.9 |
| Cat 5 | 291 (34%) | 300 (36%) | 147 (17%) | 46 (5%) | 61 (7%) | 845 | 1.16 |
| Cat 6 | 414 (29%) | 555 (39%) | 251 (18%) | 82 (6%) | 131 (9%) | 1433 | 1.27 |
| Total | 1035 (33%) | 1190 (38%) | 508 (16%) | 148 (5%) | 224 (7%) | 3105 | 1.14 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Observations sur les 184 (55 de cat 4, 69 de cat 5 et 60 de cat. 6) copies d’une section La grande majorité des explications se limitent à une correspondance entre les jours de lecture : dimanche, lundi, mardi, … et une suite de nombres commençant par 4 (pour le dimanche). Les nombres représentent les pages lues depuis le dimanche jusqu’au soir du jour de la semaine mais souvent ils représentent seulement les pages lues le jour même, lorsque les élèves ne distinguent pas les deux grandeurs en jeu : pages lues en tout (ou dernière page lue) et les pages lues durant le jour. En général, le nombre est précédé d’une opération : multiplication par 2 pour « le double » accompagnée ou non d’une addition. Lorsque les régularités sont perçues pour le passage d’un nombre au suivant, les opérations ne sont plus toujours répétées .
12 copies ou 6,5% donnent la suite correcte 4, 12, 36, 108, 324, …et la page 300 lue le jeudi, mais aucune ne perçoit la raison 3 de cette progression géométrique.
Les erreurs les plus fréquentes correspondent aux suites :
- Dans 69 copies (38%) la suite est 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, et la page 300 lue le dimanche, c’est-à-dire le doublement du nombre de pages lues la veille sans jamais additionner les pages déjà lues.
- Dans 40 copies (22%) la suite est 4, 8, 24, 72, 216, 648, et la page 300 lue le vendredi avec doublement du nombre de pages lues les jours précédents et avec l’addition du nombre de pages lues à la fin de la journée à l’exception du lundi : 8 au lieu de 12.
- Dans 13 copies (7%), la suite est 4, 8, 12, 24, 48, 96, 192, 384 et la page 300 lue le dimanche ; doublement du nombre de pages lues la veille depuis le mardi seulement
- Dans 10 copies (5%), la suite est 4, 8, 24, 48, 96, 192, 384, 512, et la page 300 lue le samedi ; doublement du nombre de pages lues la veille avec une exception du lundi au mardi (où les pages lues le lundi seulement sont additionnées à leur double pour déterminer celles du mardi). Dans toutes ces suites on ne relève que de très rares erreurs (ou distractions) pour déterminer le jour où la page 300 a été lue : un jour trop tôt.
- Dans 16 copies (9%) les suites comportent plus de deux erreurs, en général des alternances de multiplications par 2 ou par 3 pour passer d’un nombre au suivant. Les autres types d’erreurs sont dues à une incompréhension ou non appropriation du problème pour 23 copies, (13%), par exemple : division de 300 par 4 ; suites de multiples de 4, de 8 ou encore de 12 ; division de 300 par 7 (jours de la semaine), autres opérations du genre 25 x 12 = 300 ; 100 + 100 + 100 = 300 etc
L’obstacle fondamental qui empêche la très grande majorité des groupes d’élèves d’arriver à la suite correcte est dans la compréhension de la règle de passage décrite dans l’énoncé : chaque jour suivant, il lit le double du nombre total de pages déjà lues les jours précédents qui exige la distinction entre « pages lue chaque jour » et « total des pages lues les jours précédents » qui correspond à « la dernière page lue » le jour précédent. Il faut prendre en compte une donnée implicite, qu’on pense évidente mais qui ne l’est pas pour de nombreux élèves : lorsqu’on lit un livre en plusieurs étapes, après chaque pause on reprend la lecture à la page suivante de celle qu’on avait lue en dernier et le nombre de pages qu’on lit au cours de l’étape s’ajoute à celles déjà lues.
Un autre obstacle vient du passage de « un nombre auquel on ajoute son double » à « le triple de ce nombre » qu’on pourrait traduire en langage algébrique par n + 2n = 3n si l’on arrive à percevoir le nombre n, comme le nombre de pages déjà lues. Même chez les élèves qui ont trouvé la suite correcte, ce passage à la multiplication par 3 n’est pas encore perçu.
Au vu de la nature des obstacles, il ne paraît pas opportun de reprendre ce problème avec de jeunes élèves, mais plutôt avec des classes de catégories 6 à 8 pour bien mettre en évidence la loi de passage d’un nombre au suivant de la suite, qui est toujours la même (y compris pour le passage du premier au deuxième ou du deuxième au troisième) et qui peut se réduire à une seule opération : une multiplication par 3.
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