Le jardin de Flora

Identification

Rallye: 27.I.13 ; catégories: 7, 8, 9 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• AA/TN - Trouver un nombre
• SP - Traiter des suites proportionnelles

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Résumé

Trouver la répartition de 36 rosiers, 132 violettes et 180 tulipes dans des plates-bandes où les répartitions sont identiques, sachant qu’il y a 8 tulipes de plus que de violettes dans chaque plate-bande.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Retenir de l’énoncé : les trois nombres totaux de fleurs (36, 132 et 180), la répartition identique dans chaque plate-bande, la différence de 8 entre les violettes et les tulipes au sein d’une plate-bande.

- Observer les nombres donnés et chercher une relation à exploiter (par exemple : multiples de 12, différence 48 entre tulipes et violettes …) et comprendre que le nombre de plates-bandes, à partir duquel on pourra déterminer les nombres de fleurs dans chaque plate-bande, est encore inconnu.

La recherche du nombre de plates-bandes peut s’effectuer :

- Par essais organisés, après avoir remarqué ou non que le nombre de plates-bandes est un diviseur commun à 36, 132 et 180 (2 ou 3, ou 4 ou 6 ou 12), jusqu’à obtenir la différence 8 entre tulipes et violettes. Par exemple avec 2 plates-bandes on a 18 roses, 66 violettes et 90 tulipes (solution à écarter) pour arriver à 6 platebandes de 6 roses 22 violettes et 30 tulipes.

- À partir de la différence de 48 entre violettes et tulipes pour l’ensemble des fleurs, déterminer le nombre de plates-bandes (6) en effectuant une simple division par 8. Partant de là, déterminer le nombre de fleurs de chaque catégorie dans une plate-bande en divisant le nombre total de fleurs d’une catégorie par 6 et conclure qu’il y a 6 rosiers, 22 violettes et 30 tulipes

- Envisager toutes les possibilités pour une catégorie de fleurs (le plus simple étant les roses) et tester les différents nombres de plates-bandes trouvés pour savoir s’ils sont compatibles avec les autres catégories de fleurs.

Notions mathématiques

nombre naturel, multiplication, division, multiple

Résultats

27.I.13

Points attribués sur 2327 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (6 rosiers, 22 plants de violette et 30 oignons de tulipe dans chaque plate-bande), avec explication claire de la procédure (détail des calculs ou liste des essais qui ont conduit à la solution)
• 3 points: Réponse correcte, avec explication incomplète ou seulement une vérification
  ou réponse erronée avec une seule erreur de calcul ou une confusion entre les types de plantes dans la prise en compte de la deuxième contrainte, mais avec une explication claire de la procédure
• 2 points: Réponse correcte, sans aucune explication
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple, quelques essais de recherche du nombre des plates-bandes)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Un premier examen d’une centaine de copies montre qu’elles se répartissent selon deux types de procédures :

- Par essais, en écrivant en général les diviseurs communs de 36, 132 et 180 ; 18, 66 et 90 ; 12, 44 et 60, …jusqu’à trouver 6, 22 et 30 pour lesquels la différence entre les deux derniers est 8 ; les essais correspondent en réalité aux nombres de plates-bandes possible.

- Par la liste de tous les diviseurs de 36, 132 et 180 puis en recherchant parmi ceux de 132 et 180, ceux qui diffèrent de 8.

- Par détermination préalable du nombre de plates-bandes (180 – 132) : 8 = 6. Les erreurs sont en général dues à des confusions parmi les diviseurs entraînant des réponses du genre 3, 11, 15 correspondent à 12 plates-bandes.

Exploitations didactiques

Les deux procédures peuvent être opportunément comparées pour faire apparaître que la seconde, construite sur un raisonnement logico-déductif, est moins coûteuse en calculs et opération que la première qui exige l’écrite de tous les diviseurs communs des trois nombres.