Banque de problèmes du RMT
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Trouver la répartition de 36 rosiers, 132 violettes et 180 tulipes dans des plates-bandes où les répartitions sont identiques, sachant qu’il y a 8 tulipes de plus que de violettes dans chaque plate-bande.
Analyse a priori:
- Retenir de l’énoncé : les trois nombres totaux de fleurs (36, 132 et 180), la répartition identique dans chaque plate-bande, la différence de 8 entre les violettes et les tulipes au sein d’une plate-bande.
- Observer les nombres donnés et chercher une relation à exploiter (par exemple : multiples de 12, différence 48 entre tulipes et violettes …) et comprendre que le nombre de plates-bandes, à partir duquel on pourra déterminer les nombres de fleurs dans chaque plate-bande, est encore inconnu.
La recherche du nombre de plates-bandes peut s’effectuer :
- Par essais organisés, après avoir remarqué ou non que le nombre de plates-bandes est un diviseur commun à 36, 132 et 180 (2 ou 3, ou 4 ou 6 ou 12), jusqu’à obtenir la différence 8 entre tulipes et violettes. Par exemple avec 2 plates-bandes on a 18 roses, 66 violettes et 90 tulipes (solution à écarter) pour arriver à 6 platebandes de 6 roses 22 violettes et 30 tulipes.
- À partir de la différence de 48 entre violettes et tulipes pour l’ensemble des fleurs, déterminer le nombre de plates-bandes (6) en effectuant une simple division par 8. Partant de là, déterminer le nombre de fleurs de chaque catégorie dans une plate-bande en divisant le nombre total de fleurs d’une catégorie par 6 et conclure qu’il y a 6 rosiers, 22 violettes et 30 tulipes
- Envisager toutes les possibilités pour une catégorie de fleurs (le plus simple étant les roses) et tester les différents nombres de plates-bandes trouvés pour savoir s’ils sont compatibles avec les autres catégories de fleurs.
nombre naturel, multiplication, division, multiple
Points attribués sur 2327 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 301 (24%) | 119 (9%) | 152 (12%) | 335 (26%) | 363 (29%) | 1270 | 2.27 |
| Cat 8 | 119 (14%) | 43 (5%) | 110 (13%) | 279 (33%) | 304 (36%) | 855 | 2.71 |
| Cat 9 | 23 (11%) | 9 (4%) | 15 (7%) | 59 (29%) | 96 (48%) | 202 | 2.97 |
| Total | 443 (19%) | 171 (7%) | 277 (12%) | 673 (29%) | 763 (33%) | 2327 | 2.49 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Un premier examen d’une centaine de copies montre qu’elles se répartissent selon deux types de procédures :
- Par essais, en écrivant en général les diviseurs communs de 36, 132 et 180 ; 18, 66 et 90 ; 12, 44 et 60, …jusqu’à trouver 6, 22 et 30 pour lesquels la différence entre les deux derniers est 8 ; les essais correspondent en réalité aux nombres de plates-bandes possible.
- Par la liste de tous les diviseurs de 36, 132 et 180 puis en recherchant parmi ceux de 132 et 180, ceux qui diffèrent de 8.
- Par détermination préalable du nombre de plates-bandes (180 – 132) : 8 = 6. Les erreurs sont en général dues à des confusions parmi les diviseurs entraînant des réponses du genre 3, 11, 15 correspondent à 12 plates-bandes.
Les deux procédures peuvent être opportunément comparées pour faire apparaître que la seconde, construite sur un raisonnement logico-déductif, est moins coûteuse en calculs et opération que la première qui exige l’écrite de tous les diviseurs communs des trois nombres.
(c) ARMT, 2019-2024