Banque de problèmes du RMT
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Trouver la somme de 17 et d’un nombre inconnu, qui est aussi égale à la somme de 3 et du triple du nombre inconnu.
Analyse a priori:
- Comprendre qu’il y a des cartes déjà placées dans la collection et d’autres cartes dans les paquets qui sont encore à ouvrir et qu’il faudra déterminer le nombre total de ces cartes pour chaque enfant.
- Comprendre la situation : au départ, Charles n’avait que trois cartes et trois paquets à ouvrir, tandis que Luc avait déjà 17 cartes et un seul paquet à ouvrir.
- Noter qu'après l'ouverture des paquets, les deux enfants ont le même nombre de cartes, et que l’égalité se situe entre « 17 + un paquet » et « 3 + trois paquets »
- Comprendre qu’il faut trouver le nombre de cartes que contient chaque paquet
- Conclure, dans tous les cas, que chaque enfant a 24 cartes
addition, somme, multiplication, triple, inconnue, équation
Points attribués sur 2487 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 257 (36%) | 54 (8%) | 106 (15%) | 130 (18%) | 161 (23%) | 708 | 1.84 |
| Cat 4 | 171 (20%) | 34 (4%) | 145 (17%) | 267 (31%) | 247 (29%) | 864 | 2.45 |
| Cat 5 | 86 (9%) | 22 (2%) | 131 (14%) | 298 (33%) | 378 (41%) | 915 | 2.94 |
| Total | 514 (21%) | 110 (4%) | 382 (15%) | 695 (28%) | 786 (32%) | 2487 | 2.45 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
L’examen des résultats statistiques montre une évolution sensible des moyennes de point selon l’âge des élèves, les réponses correctes ( globalement les 2, 3 et 4 points) passent de 56%, 77% à 88% de la catégorie 3 à la catégorie 5.
Une grande majorité des groupes ont compris qu’il faut trouver le nombre de cartes que contient chaque paquet avant de déterminer le nombre de cartes des deux enfants.
Pour trouver ce nombre inconnu, la procédure par essais est de loin la plus fréquente. Ceux-ci peuvent être organisés systématiquement ou se limiter aux nombres de 5 à 10, ou n’être que mentionnés explicitement.
Exemple 1 (cat 3) : Luc : 17 + 7 = 24 cartes Charles 3 + 7 + 7 + 7 = 24 cartes.
On a trouvé le numéro 7 parce que c’est le seul qui fait le même nombre les deux à la fin du calcul
Exemple 2 (cat 3) - Abbiamo fatto tante prove e abbiamo pensato che in ogni bustina c’erano 4- 5 o 6 carte ma non era cosi . abbiamo provato con 7 ed era quello …
Exemple 3 (cat 4) … On a calculé dans notre tête combien pouvait faire 24 et c’était 17 + 7 = 24 et 3 + 7 + 7 + 7 = 24.
Dans de très nombreux cas, les essais ne sont pas mentionnés et les élèves ne donnent qu’une vérification du genre 3 + 7 + 7 + 7 = 17 + 7 = 24 ou parfois par des écritures multiplicatives 3 + (3 × 7) = 17 + 7.
On trouve de très rares tentatives d’explications logico-déductives à partir de la constatation de l’égalité « 17 + un paquet » = « 3 + trois paquets » qui se simplifie en « 14 = 2 paquets. »
Exemple 4 (cat 5) : Chaque paquet contient 7 cartes. Pourquoi 7 cartes ? Quand je faisais 17 + un chiffre je faisais 3 + 3 fois le chiffre que j’ai utilisé pour 17 + un chiffre. Vu que Luc a 17 cartes on a fait 17 + un paquet de 7 cartes. ça fait 24 cartes au total …. //
Exemple 5 (cat 5) : On a trouvé la différence entre 17 et 3 et on a fait la moitié de 14. Ca faisait 7 (le nombre d’un paquet) on a fait 3 × 7 = 21 et on a fait 3 + 21 = 24 …
Exemple 6 (cat 3) Texte « maladroit » mais logiquement correct Trois pour arriver à dix-sept. Il faut quatorze. Quatorze : = sept. Alors Charles a utilisé deux paquets pour arriver à dix-sept. Alors Luc a dix-sept cartes. Dix-sept + sept = vingt-quatre. Charles a dix-sept cartes. Dix-sept + sept = vingt-quatre. Alors ils ont les deux le même nombre.
Exemple 7 (cat 3) Les cartes de Luc et de Charles sont représentées respectivement par 17 et 3 petits points avec, à leurs côtés les paquet (carrés). Ces carrés étaient vides initialement et ont été remplis progressivement de petits points, un à un, jusqu’à obtenir 7 petits points par paquet pour obtenir l’égalité, ainsi que l’expliquent les élèves :
- Abbiamo disegnato 3 carte per Carlo e 17 per Luca poi abbiamo disegnato 1 pachetto per Luca e 3 pachetti per Carlo e dopo abbiamo disegnato le carte nei pachetti e abbiamo contato le carte che aveva ciascuno bambino e abbiamo capito che la risposta è 24. (Nous avons dessiné 3 cartes pour Charles et 17 pour Luc puis nous avons dessiné les cartes dans des paquets et nous avons compté les cartes de chaque enfant et nous avons compris que la réponse est 24. )
On peut remarquer encore que, dans les copies examinées, les essais s’arrêtent à la première solution trouvée. L’unicité est implicite. Il faudra examiner encore d’autres copies, de catégorie 5 en particulier, pour voir si certains élèves sont capables d’éviter les essais par la procédure logico-déductive ou les organisent différemment. Il y a, comme concept sous-jacent, celui de variable.
Les groupes qui aboutissent à des erreurs ne sont pas rendu compte qu’il faut déterminer en priorité le nombre de cartes par paquet et que ce nombre est le même pour chaque paquet. Ils l’ont attribué arbitrairement ou n’ont pas tenu compte de toutes les données.
Exemple 8 (cat 3): Abbiamo pensato che in ogni pacchetto ci fossero 6 figurine Perciò Carlo a 6 × 3 = 18 + 3 = 21 Luca arriva a 24.
Exemple 9 (cat 3) Luca e Carlo hanno 19 carte. Perché fai 3 + 4 + 4 + 4 = 15 + 4 = 19 e fanno 17 + 3 + 3 + 3 = 26 – 4 = 22 – 3 = 19. Quindi hanno tutti i due 19 carte.
Exemple 10 (cat 5) Chaque enfant a 28 cartes parce que dans chaque paquet il y a 7 cartes et (7 × 4) = 28 (pour Luc)et alors 4 + 3 + 7 + 7 + 7 = 28 (pour Charles).
Ce problème Carte d’animaux, vu sa structure simple, semble intéressant par les diverses représentations que les élèves se font de l’ensemble des valeurs possibles de l’inconnue « nombre de cartes par paquet ».
Ceux qui ont trouvé la réponse « 60 », et ont dû obligatoirement déterminer le nombre de cartes par paquet, passent de près de 50% en catégorie 3 à près de 90 % en catégorie 5.
La procédure logico-déductive prévue par l’analyse a priori : par comparaison globale à partir de l’égalité précédente : Luc a 14 cartes de plus que Charles mais deux paquets de moins et, par conséquent 2 paquets correspondent aux 14 cartes et un paquet contient 7 cartes. n’apparaît que dans de très rares cas mais pourrait être envisagée en discussion collective.
Cette phase de réflexion sur le domaine est donc intéressante à observer. Entre les pragmatiques « nous avons essayé avec le 6, le 8, le 9 et le 7 … » et ceux qui envisagent « tous les nombres » ou « de 1 à 10 », il y a une belle diversité.
(c) ARMT, 2019-2024