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Banca di problemi del RMT

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Le tre formiche

Identificazione

Rally: 27.II.09 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambito: OPN
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare tre numeri naturali, sapendo che il secondo numero è inferiore di 5 unità rispetto al doppio del primo e che il terzo è uguale al secondo e supera il primo di 7 unità.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere che Adelina ha meno chicchi rispetto alle altre formiche, perché Clotilde ne ha 7 in più di lei e Berenice la stessa quantità di Clotilde.

- Considerare che a Berenice mancano 5 chicchi per arrivare al doppio di quelli di Adelina e capire che, poiché ha lo stesso numero di chicchi di Clotilde, ne ha 7 in più di Adelina.

- Dedurre quindi che 5 + 7 = 12 sono esattamente i chicchi che aggiunti a quelli di Adelina servono per arrivare al suo doppio. Concludere che Adelina ha raccolto 12 chicchi, mentre Berenice e Clotilde ne hanno raccolti rispettivamente 12 × 2 − 5 e 12 + 7, cioè 19 chicchi ciascuna.

A tale conclusione si può arrivare anche con una rappresentazione grafica per esempio utilizzando i segmenti.

Oppure

- Procedere con tentativi sistematici, eventualmente con l’aiuto di una tabella tenendo conto che i chicchi di Adelina non possono essere meno di 3. Ad esempio, se i chicchi raccolti da Adelina fossero 7, quelli di Berenice sarebbero 9 = (7 × 2) – 5, quelli di Clotilde 14 = 7 + 7, ma 9 ≠ 14 e quindi 7 non va bene. Procedere così e trovare che quando Adelina raccoglie 12 chicchi, Berenice ne raccoglie 19 = (12 × 2) − 5, così come Clotilde: 19 = 12 + 7.

Oppure

- Per via algebrica o prealgebrica, indicato con A il numero dei chicchi di Adelina dedurre che quelli di Berenice sono 2A − 5, quelli di Clotilde A + 7, confrontare le due ultime espressioni relative ai chicchi di Berenice e Clotilde: 2A−5= A + 7 e dedurre, risolvendo l’equazione con metodi algebrici o per tentativi, che il numero di chicchi di Adelina è 12; di conseguenza quello delle altre due formiche è 19.

Nozioni matematiche

numero naturale, doppio, differenza, addizione, moltiplicazione, incognita, uguaglianza, comparazione

Risultati

27.II.09

Punti attribuiti su 3351 classi di 20 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 5178 (22%)92 (11%)109 (14%)212 (26%)214 (27%)8052.24
Cat 6451 (34%)109 (8%)274 (20%)310 (23%)200 (15%)13441.78
Cat 7285 (24%)72 (6%)260 (22%)315 (26%)270 (22%)12022.18
Totale914 (27%)273 (8%)643 (19%)837 (25%)684 (20%)33512.03
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Selon une première analyse a posteriori de 193 copies de la section de Suisse romande

RL Procédures par raisonnement logique : 29 copies (15%)

Les quatre relations de l’énoncé sont regroupées A + 7 = C ; C = B ; 2A – 5 = B, mentalement ou parfois par des écritures qui s’approchent de A + 7 = C = B = 2A – 5 qui préfigurent la mise en équation ; mais dans chaque catégorie des classes reconnaissent, après avoir substitué B à C, la relation A + 7 = 2A – 5 ou A + 7 + 5 = 2A ce qui s’exprime par exemple par une explication du genre : Il manque 7 grains à Adeline et il manqu également 5 grains à Berenice et Clotilde pour avoir le double d’Adeline donc il faut faire 5 + 7 pour savoir combine de grains a Adeline. (cat 5)

Le plus souvent ces raisonnements se reconnaissent par la suite d’égalités : 5 + 7 = 12 ; 12 + 12 = 24 ; 24 – 5 = 19 et 12 + 7 = 19.

ES. Procédures par essais : 57 copies (30 %)

Les essais sont rarement systématiques, les groupes trouvent en général des procédures plus courtes par « sondage ». Si par exemple ils partent d’une hypothèse sur A, ils calculent les deux valeurs : le double et A + 7 et vérifient si le double vaut bien 5 de plus que A + 7. Sinon, ils augmentent ou diminuent selon les besoins. Certains remarquent parfois qu’on peut se limiter aux valeurs paires de A. Les nombres d’essais vont d’une dizaine si on part de 3, 4, 5 … à deux ou trois.

On trouve aussi des hypothèses sur B et C puis recherche d’un nombre inférieur de 7 et d’un nombre supérieur de 5 avec vérification que le dernier est le double du précédent. Certains trouvent le nombre au premier essai par chance (Classés sur la procédure suivante VR). D’autres disent qu’ils ont fait beaucoup d’essais ou qu’ils sont allés « par tâtonnements » jusqu’à trouver 12.

VR. Les explications se limitent à la vérification 60 copies (31 %)

Dans cette catégorie, les élèves se contentent d’écrire des réponses et la vérification. Par exemple:

Toutes les copies de cette catégorie font apparaître une série de trois ou opération commençant soit par 12 + 7 = 19, soit par 12 + 12 = 24, soit par 19 + 5 = 24 mais ne présentent jamais la somme des deux données 5 + 7 = 12.

Ceux qui pensaient procéder par essais et tombent sur la solution au premier essai, le vérifient ensuite. Par exemple

Le 19 apparaît aussi souvent que le 12. 4 copies (2%) donnent la réponse correcte sans explication.

ER Erreurs ou procédures ébauchées mais non abouties 18 copies (9 %)

Il n’y a pas d’erreur systématique dans ces copies, les solutions ne respectent qu’une seule des contraintes : la différence de 7 ou de 5 ou le double

20 copies (10 %) sont des « feuilles blanches » ou sont considérées comme « incompréhension. On ne trouve pas de procédures algébriques ni de supports graphiques (dessins. schémas) dans toutes les copies examinées.

Vedere anche il problema Gara di pesca, (24.II.10)

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