Le carrelage

Identification

Rallye: 27.II.12 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: OPN, GM
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver les dimensions possibles, en nombre entiers de décimètres, de carreaux rectangulaires dont la longueur est le double de la largeur, sachant qu’il en faut entre 200 et 1000 pour recouvrir un rectangle de 9 m sur 18 m.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que le sol à recouvrir et les carreaux sont des rectangles dont la longueur est le double de la largeur et que, par conséquent, les carreaux peuvent être posés, dans la position la plus simple par exemple, avec leurs longueurs et largeurs respectivement parallèles à celles du sol à recouvrir.

- Choisir de travailler avec une même unité, pour les dimensions du sol à recouvrir et les carreaux, de préférence en dm : le rectangle de 90 × 180 dm a une aire de 16200 dm2.

- Noter que les dimensions des carreaux doivent mesurer un nombre entier de décimètres et que, comme on n’utilise que des carreaux entiers, leur longueur doit être un diviseur de 180 (dm), de même que pour leur largeur qui est un diviseur de 90 (dm).

Il y a plusieurs manières d’organiser la recherche, dont les trois suivantes. Par exemple :

• a) En partant de l’aire du sol 16200 (en dm2) et de 200 à 1000 carreaux, calculer les aires minimales et maximales de carreaux qui sont 16200 /1000 = 16,2 (en dm²) et 16200/200 = 81 (en dm²).
Les carreaux étant décomposables en deux carrés juxtaposés, les aires de ces carrés sont comprises entre 16,2/2 = 8,1 et 81/2 = 40,5 (en dm2). Les côtés de ces carrés (largeur du carreau) sont compris entre √8,1 ≈ 2,8 et √40,5 ≈ 6,3. Comme les dimensions des carreaux sont des nombres entiers, on peut envisager les couples (3 ; 6), (4 ; 8), (5 ; 10) et (6 ; 12) pour les (largeurs ; longueurs) des carreaux, et éliminer (4 ; 8) qui ne sont pas des diviseurs de 90 et 180.

• b) En partant des diviseurs de 90 et 180 pour trouver les largeurs et longueurs des carreaux et en calculant le nombre de carreaux à chaque fois :

• c) Organiser une recherche à partir de paires de valeurs entières dont l'une est le double de l'autre et dont le produit est contenu un nombre exact de fois dans damier du salon. Par exemple, à partir des tailles 1 et 2, la surface de la tuile sera de 2 dm2 et le nombre des tuiles sera de 8100 (16200 : 2).
Continuer avec les autres paires de valeurs et n'accepter que les cas où le nombre de carreaux est un entier supérieur à 200 et inférieur à 1000. Identifier les trois solutions possibles 900 = 16 200 ÷ (3 × 6) ; 324 = 16 200 ÷ (5 × 10) ; 225 = 16 200 ÷ (6 × 12)

Notions mathématiques

produit, multiplication, rectangle, longueur, largeur, pavage, mesure, double, rapport

Résultats

27.II.12

Points attribués sur 3391 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte : les trois solutions en décimètres (3, 6) ; (5, 10) ; (6, 12) (ou en mètres (0,3 - 0,6) ; (0,5 - 1) ; (0,6 – 1,2) avec les détails de la recherche et tous les calculs nécessaires pour les trouver
• 3 points: Réponse correcte : les trois solutions avec des explications partielles ou absence de certains calculs
  ou deux solutions correctes et bien argumentées
• 2 points: Réponse correcte : les trois solutions sans explication
  ou deux solutions avec des explications partielles ou des calculs manquants
  ou une solution correcte et bien argumentée
• 1 point: Une ou deux solutions correctes sans explication
  ou le début d'une recherche cohérente sans parvenir à la conclusion
• 0 point: Incompréhension du problème

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