La piastrellatura

Identificazione

Rally: 27.II.12 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambiti: OPN, GM
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

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Sunto

Trovare le possibili misure (in numeri interi di decimetri) di un rettangolo, sapendo che un lato è il doppio dell’altro e che può essere contenuto un numero n (200 < n < 1000) di volte in un rettangolo, di cui si conoscono le misure dei lati (9 m e 18 m).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere che sia il pavimento da ricoprire sia la piastrella sono rettangolari e hanno un lato doppio dell’altro e che quindi le piastrelle possono essere messe nella posizione più semplice, per esempio con le dimensioni parallele a quelle del pavimento (ma, siccome devono rimanere intere, il numero delle piastrelle non cambia se si dispongono in altro modo, per esempio a cornice o parzialmente a cornice, a spina di pesce, ...)

- Scegliere di lavorare con la stessa unità di misura per le dimensioni del pavimento e per quelle della piastrella, preferibilmente in decimetri: il rettangolo da 90 × 180 dm ha un’area di 16 200 dm2.

- Tener conto che le dimensioni delle piastrelle devono misurare un numero intero di decimetri e che siccome vengono utilizzate solo piastrelle intere, il lato maggiore deve essere un divisore di 180 (decimetri) e il lato minore deve essere un divisore di 90 (decimetri).

- Ci sono più modi per organizzare una ricerca tra i quali, per esempio, i tre seguenti

• a) Partendo dall’area del pavimento 16 200 dm2 e dal possibile numero di piastrelle, da 200 a 1000, calcolare le aree minime e massime delle piastrelle che sono 16 200 ÷ 1000 = 16,2 (in dm²) e 16 200 ÷ 200 = 81 (in dm²).
Essendo le piastrelle scomponibili in due quadrati accostati, l’area di ciascun quadrato sarà compresa tra 16,2 ÷ 2 = 8,1 e 81 ÷ 2 = 40,5 (in dm2). Le dimensioni dei lati di questi quadrati sono compresi tra √8,1 ≈ 2,8 e √40,5 ≈ 6,3. Poiché le dimensioni delle piastrelle sono numeri interi, si possono prevedere le coppie (3 ; 6), (4 ; 8), (5 ; 10) e (6 ; 12) ed eliminare la coppia (4 ; 8) che ha numeri non divisori di 90 e di 180..

• b) Partendo dai divisori di 90 e 180 per trovare le dimensioni della piastrella e calcolando il numero di piastrelle ogni volta:

• c) Partendo da coppie di numeri interi in cui uno è doppio dell’altro e il cui prodotto è contenuto un numero esatto di volte nel pavimento. Per esempio, con la coppia (1; 2) la superficie della piastrella sarà di 2 dm2 e il numero delle piastrelle sarà 8100 (16 200 ÷ 2).
Continuare con altre coppie di numeri accettando solo i casi in cui il numero delle piastrelle è maggiore di 200 e minore di 1000. Identificare le tre soluzioni possibili 900 = 16 200 ÷ (3 × 6); 324 = 16 200 ÷ (5 × 10) e 225=16 200 ÷ (6 × 12)

Nozioni matematiche

prodotto, moltiplicazione, rettangolo, lunghezza, larghezza, pavimentazione, misura, doppio, rapporto

Risultati

27.II.12

Punti attribuiti su 3391 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta: le tre soluzioni in decimetri (3 - 6); (5 - 10); (6 - 12) oppure in metri (0,3 - 0,6); (0,5 - 1); (0,6 – 1,2) con il dettaglio della ricerca e tutti i calcoli necessari a trovarle
• 3 punti: Risposta corretta: le tre soluzioni con una ricerca incompleta o mancante di alcuni calcoli
  oppure due soluzioni corrette e ben argomentate
• 2 punti: Risposta corretta: le tre soluzioni senza spiegazioni
  oppure due soluzioni con una ricerca incompleta o mancante di alcuni calcoli
  oppure una soluzione corretta e ben argomentata
• 1 punto: Una o due soluzioni corrette senza spiegazioni
  oppure inizio di ricerca coerente senza arrivare alla conclusione
• 0 punto: Incomprensione del problema