Banca di problemi del RMT
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Trovare tre numeri sapendo che la somma è 29, il più grande è il doppio del secondo il quale, a sua volta, supera di 3 il minore.
Il problema richiede di individuare il numero di ciascuna delle tre varietà di frutta comprate dalla mamma di Tommaso, sapendo che il loro totale è 29.
La prima difficoltà è quella di capire che il numero di ciascun tipo di frutti è in relazione con quello degli altri e che, pertanto, bisogna decodificare queste relazioni. A partire da uno dei frutti presenti, è necessario interpretare correttamente il significato delle relazioni “il doppio di” e “3 di più” e comprendere che queste devono essere tradotte in “metà di” e “3 di meno” se si cambia l’ordine di attribuzione dei valori ai vari frutti: se si parte dalla arance, le mele sono il loro doppio e le banane sono “3 di meno”; se si parte dalle mele, le arance ne sono la metà ed ancora le banane ne sono “3 di meno”; se si parte dalle banane, le arance sono “3 di più” e le mele sono “il doppio” delle arance.
Da notare che se si attribuiscono valori partendo dalle banane o dalla mele si ordinano i frutti rispettivamente in ordine crescente o decrescente mentre se si parte dalla arance si fa riferimento ad una posizione centrale.
- Procedere per tentativi fissando, ad esempio, il numero di frutti di una varietà e determinare il numero di frutti delle altre due. Forse la procedura più semplice, perché rispetta l’ordine crescente, è fissare il numero delle banane, calcolare poi il numero delle arance e infine quello delle mele. Calcolare la somma dei tre numeri e confrontarla con 29.
- I tentativi possono essere organizzati in tabella, con un disegno o anche verbalmente ma sempre evidenziando il confronto con il totale 29 dei frutti, per poter aumentare o diminuire il numero della varietà scelta in partenza, fino a trovare la soluzione (5 banane, 8 arance e 16 mele).
numero naturale, somma, doppio, differenza
Punti attribuiti su 1168 classi di 13 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 122 (24%) | 66 (13%) | 124 (25%) | 106 (21%) | 85 (17%) | 503 | 1.93 |
| Cat 4 | 76 (11%) | 37 (6%) | 183 (28%) | 210 (32%) | 159 (24%) | 665 | 2.51 |
| Totale | 198 (17%) | 103 (9%) | 307 (26%) | 316 (27%) | 244 (21%) | 1168 | 2.26 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :
Procedure
La strategia più utilizzata è stata quella per tentativi, esplicitati anche attraverso l’uso di tabelle o schemi.
Gli allievi, soprattutto nella cat.3, raramente argomentano in modo chiaro ed efficace ma dichiarano solo di aver proceduto per tentativi e, senza mostrarli, concludono che il frutto “banana” ha valore 5, poi ricavano il numero degli gli altri frutti interpretando correttamente le relazioni. Spesso i tentativi sono organizzati in tabella con l’esplicitazione delle condizioni (“il doppio di” e “3 in più”).
In alcuni elaborati la descrizione ci permette di capire qual è l’ordine dei frutti utilizzato nei tentativi: in genere gli allievi procedono organizzando la ricerca in ordine crescente o decrescente (in questo caso la relazione “doppio” si converte in “metà” e “più 3” diventa “meno 3”), ad esempio scrivono …noi abbiamo fatto dei tentativi: 14 mele, 7 arance, 4 banane ma non andava bene… fino a…16 mele, 8 arance e 5 banane ed era giusto. E l’operazione è16+8+5=29. I tentativi risultano generalmente più organizzati nella cat. 4.
Sono stati riscontrati elaborati che presentano una strategia pre-algebrica:
• compare un simbolo (quadratino) al posto del numero incognito: //A + 3 tutti i frutti sono 29 M + 6 29 - 9 = 20 B 20 : 4 = 5 quindi un è 5!!
• esplicitano a parole senza introdurre simboli:
//mele = banane + 3 + banane + 3 arance = banane + 3 29 - 9 = 20 banane 20:4 = 5 banane
mele = 5 + 3 + 5 + 3 arance = 5 + 3 banane = 5
• utilizzano simboli grafici (segmenti) per indicare il numero dei vari frutti mostrando una buona gestione delle relazioni
figure da aggiungere
Ostacoli ed errori
In generale si sono riscontrate buona comprensione e gestione delle relazioni numeriche presenti nel testo mentre non si può dire altrettanto della sua comprensione. In particolare la frase Le mele sono il doppio delle arance e le arance sono 3 più delle banane, specialmente in cat.3, ha creato un grosso ostacolo per la diversa funzione del vocabolo arance al suo interno. Infatti “arance” dapprima ha il ruolo di secondo termine di paragone e subito dopo quello di primo termine di paragone. Gli allievi, invece, hanno percepito la vicinanza come una semplice ripetizione. Questa difficoltà di tipo linguistico spesso non ha permesso di entrare nella situazione problematica e, di conseguenza, di attivare una strategia risolutiva.
Tra gli errori più frequenti si segnala quello di non tenere conto di tutte e tre le condizioni indicate dal testo: il numero totale di frutti (29), e le due relazioni “il doppio di”, “3 di più”.
Prevale, in genere, la relazione “doppio” tra mele e arance. Spesso i numeri di questi due tipi di frutti, uno il doppio dell’altro, vengono sommati tra loro e alle banane viene assegnato il complementare a 29 rispetto a tale somma, dimenticando completamente l’indicazione che esse sono tre di meno delle arance.
Non sono stati trovati elaborati nei quali la risposta fosse errata per aver confuso i tipi di frutti oppure con errori nel calcolo (come previsto nei criteri dell’analisi a priori, al punteggio 2).
La rilevazione, a posteriori, di tabelle e di schematizzazioni grafiche presenti soprattutto in categoria 4, può diventare un elemento utile, a livello didattico, per stimolare gli allievi nella scoperta e nella ricerca di regolarità e/o di altre caratteristiche numeriche, ad esempio: “ il numero delle mele sempre pari”, “il numero delle mele è minore di “, “il numero delle banane è compreso tra” e, andando più avanti nelle categorie, “aumentando di 1 il numero delle banane il totale dei frutti aumenta di 4”. Tutta questa attività porta a poter inserire questo problema all’inizio di un percorso che punta alla generalizzazione e a sviluppare il pensiero algebrico.
Questo problema può essere utilizzato anche per l’acquisizione di un metodo di lavoro. Infatti impone una verifica e una revisione continua del percorso effettuato dovendo tenere presenti sia le relazioni di natura diversa fra i tre numeri, via via trovati nei tentativi, sia la loro somma con quella assegnata.
In base agli ostacoli evidenziati e ad agli errori commessi sono state proposte delle sperimentazioni consultabili sulla Gazzetta numero 11 nella sezione Approfondimenti.
Per ulteriori attività in classe si possono anche utilizzare i seguenti problemi nei quali si tratta di scomporre una somma in parti proporzionali a quantità assegnate:
Sempre il doppio (21.II.04 / cat. 3,4,5 / ambito PR )
I coniglietti (22.F.03 / cat. 3,4 / ambito OPN )
Le castagne di Carlo (I) (22.II.01 / cat. 3,4 / ambito OPN )
Il ballo degli animali (21.I.05 / cat. 3,4,5 / ambito OPN )
Una corsa di auto radiocomandate (25.I.03 / cat. 3,4 / ambiti AM,SP)
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