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Banque de problèmes du RMTop136-fr |
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Trouver toutes les décompositions de 51 en somme de 5 termes choisi parmi 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 et 32.
Analyse a priori:
- Comprendre qu’on dispose de cinq fléchettes qu’on lance dans la cible, que certaines fléchettes peuvent ne pas atteindre la cible et que dans une même zone il peut y avoir plusieurs fléchettes.
- Comprendre qu’une fléchette rapporte le nombre de points inscrit dans la zone dans laquelle elle touche la cible et qu’une fléchette qui ne touche pas la cible marque 0 point.
- Comprendre que pour gagner le gros ours, il faut totaliser exactement 51 points et que 51 doit être obtenu en additionnant 5 termes pris parmi 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 et 32, qu’un même nombre peut être présent plusieurs fois dans la somme.
- La difficulté consiste à tenir compte des conditions : la somme doit comporter 5 termes, pas nécessairement tous différents et dont certains peuvent être 0.
- Effectuer des essais inorganisés : choisir 5 nombres, en faire la somme et la comparer à 51. Cette stratégie a peu de chance d’aboutir à l’ensemble des solutions, mais elle peut être une stratégie d’entrée qui permet de prendre conscience qu’un des deux nombres 32 et 16 au moins doit être présent.
- Effectuer des essais organisés. Par exemple en recherchant les solutions qui contiennent le nombre 32. Il faut lui ajouter 19 points et donc chercher comment obtenir 19 avec 4 nombres pris parmi 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16. Avec 16, on trouve 16 + 2 + 1 + 0 = 19 et 16 + 1 + 1 + 1 = 19. Sans 16, on ne trouve que 8 + 8 + 2 + 1. La décomposition 8 + 8 + 1 + 1 + 1 ne convient pas car 6 nombres seraient alors utilisés pour obtenir 51. Poursuivre en cherchant les solutions qui ne contiennent pas 32. Avec 16, on trouve 16 + 16 + 16 + 2 + 1 Chercher ensuite des solutions qui ne contiennent ni 32, ni 16. En additionnant cinq 8, on obtient 40, qui est inférieur à 51. Il n’y a donc pas d’autres solutions.
- Remarque : tous les nombres autres que 1 étant pair, des élèves peuvent remarquer que leur somme est paire et que 1 doit être obligatoirement présent
nombre naturel, addition, somme, décomposition, termes, inventaire
Points attribués sur 1821 classes de 13 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 3 | 58 (12%) | 288 (57%) | 55 (11%) | 65 (13%) | 36 (7%) | 502 | 1.47 |
Cat 4 | 63 (9%) | 260 (39%) | 113 (17%) | 154 (23%) | 81 (12%) | 671 | 1.9 |
Cat 5 | 55 (8%) | 182 (28%) | 120 (19%) | 176 (27%) | 115 (18%) | 648 | 2.18 |
Total | 176 (10%) | 730 (40%) | 288 (16%) | 395 (22%) | 232 (13%) | 1821 | 1.88 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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