Le ruban

Identification

Rallye: 04.F.11 ; catégorie: 5 ; domaine: OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• PER - Traiter une suite périodique

Remarque et suggestion

Résumé

Découvrir une période dans une suite de nombres et en déduire le 94e de la suite. La clé: le premier nombre est 48 la règle de passage d’un nombre au suivant dépend de sa parité : si le dernier nombre écrit est pair, on le fait suivre de sa moitié ; s’il est impair, on le fait suivre de la somme des deux nombres précédents.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que le ruban doit être complété avec les deux règles données, puis appliquer ces deux règles:

  48 ; 24; 12; 6; 3; 9 (3 + 6); 12 (9 + 3);6; 3; 9; 12; 6; 3; 9; 12; ...

- Constater que cette suite est périodique, de période "12; 6; 3; 9"

- Pour trouver le nombre de la 94e case on peut soit remplir les 94 cases, avec un risque élevé d'une erreur vu la longueur de la tâche, soit déterminer la relation entre la position des nombres de la période et les numéros de leurs cases, ce qui exige d'écrire les numéros des cases et les nombres correspondants pour en tirer la règle:

   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  ...
  48  24  12   6   3   9  12   6   3   9  ...

Les multiples de 4 ont pour image 6, les multiples de 4 augmentés de 1 ont pour image 3, les multiples de 4 augmentés de 2 ont pour image 9, ... comme 94 est un multiple de 4 augmenté de 2, il y aura 9 dans la 94e case.

Les savoirs mobilisés sont "élémentaires" lorsqu'on les prend un à un (addition de deux nombre, division par 2 ou moitié, répétition de quatre nombres, idée de relation fonctionnelle entre les numéros et les nombres des cases, multiples de 4, ...; c'est la conjonction de ces savoirs qui est délicate.

Notions mathématiques

nombre naturel, suite, formule de récurrence, moitié

Résultats

Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.

Exploitations didactiques

Problème d'un très grand intérêt didactique pour catégories au-delà de 5, jusqu'à 8 à 10.

- calcul des nombres d'une suite en respectant la règle de construction addition, division (moitié)

- perception de la période 12; 6; 3; 9: intervalles de longueur 4

- déterminer la relation entre la position des nombres de la période et les numéros de leurs cases: reste des divisions par 4

- déterminer que 94 vaut 2 de plus (ou de moins) qu'un multiple de 4 et en déduire le nombre qui figure dans la case correspondante

On se situe dans le domaine des suites périodiques et d'une approche des fonctions.

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