Torri di cubetti (I)

Identificazione

Rally: 29.I.01 ; categorie: 3, 4 ; ambiti: OPN, FN
Famiglie:

• SN - Gestire una successione numerica
• VS/OA - Contare oggetti nello spazio

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Sunto

Scoprire la regolarità dei termini di una successione di numeri naturali, calcolare la somma dei primi 10 numeri naturali e trovare il numero corrispondente alla somma calcolata diminuita di 2.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Appropriarsi della situazione:

- “vedere” le due figure e percepire le regole di costruzione delle “torri” (costruzione dei piani con cubi adiacenti, diminuzione di 1 nel numero dei cubetti di ogni piano successivo, simmetria della costruzione, un singolo cubo nell’ultimo piano perché non si possono posizionare altri cubi sopra senza rompere la regolarità)

- comprendere che per trovare il numero totale dei cubetti di una torre, si devono addizionare i numeri dei cubetti di ciascun piano

- comprendere che Lia non ha cubetti sufficienti per costruire una torre di dieci piani, le mancano due cubetti.

- Costruire alcune torri con materiale concreto o con il disegno e contare i cubi presenti in quella di 10 piani (55) e dedurre che Lia ha 53 cubetti perché gliene mancano 2.

- Oppure, nel campo numerico, costatare la progressione dei cubetti in ogni piano: numeri naturali che si susseguono in ordine crescente partendo dall'alto 1 + 2 + 3 + 4 + ... oppure in ordine decrescente partendo dalla base ... + 4 + 3 + 2 + 1. Rendersi conto che questi due modi di aggiungere numeri sono equivalenti (commutatività) e comprendere che i cubetti sulla base della torre sono tanti quanti sono i piani della torre stessa (10 piani = 10 cubi nel primo piano). Quindi calcolare la somma dei dieci numeri da 1 a 10, trovare 55 e sottrarre 2 poiché mancano 2 cubi e arrivare alla risposta 53.

- È anche possibile procedere per somme parziali successive che danno il numero totale dei cubetti in funzione del numero dei piani (approccio che potrà essere interessante nelle attività didattiche)

      numero dei piani                       1  2  3   4   5   6   7   8   9  10
      numero totale dei cubetti nella torre  1  3  6  10  15  21  28  36  45  55

Ci sono naturalmente altre procedure, combinando quelle descritte sopra. Tra gli errori possibili, si deve rilevare la dimenticanza dei due cubetti da togliere risposta 55; la confusione tra addizione e sottrazione per quest'ultima operazione, risposta 57; errori di calcolo nella somma dei numeri da 1 a 10; e la tentazione di fermarsi a un numero di cubetti di una torre di 5 piani (15) e di moltiplicarlo per 2 per la torre di 10 piani: (2 × 15) – 2 = 28 (mediante procedura irregolare di proporzionalità: prendere il doppio).

Nozioni matematiche

progressione, successione, numero triangolare, ricorrenza, cubo, somma, numero naturale

Risultati

29.I.01

Punti attribuiti su 1344 classi di 18 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta “53 cubetti” con una descrizione chiara e completa (descrizione dell’effettiva costruzione della torre
  oppure rappresentazione grafica completa
  oppure presentazione di tutti i calcoli per trovare la somma dei numeri da 1 a 10, ...)
• 3 punti: Risposta corretta con descrizione incompleta o poco chiara (mancanza di qualche passaggio)
• 2 punti: Ricerca coerente con un errore di calcolo, di rappresentazione o costruzione
  oppure risposta errata (57) con procedura chiara e completa
  oppure risposta corretta senza descrizione della procedura
  oppure risposta errata (55) che non tiene conto dei due cubetti mancanti, ma con procedura chiara e completa
• 1 punto: Inizio di ricerca coerente che attesti la comprensione del problema
  oppure risposta “55 o 57” senza descrizione
• 0 punto: Incomprensione del problema
  oppure errore per falsa proporzionalità (risposta 28)