Tours de cubes (II)

Identification

Rallye: 29.I.07 ; catégories: 5, 6 ; domaines: OPN, FN
Familles:

• SN - Traiter une suite numérique
• VS/OA - Compter ou dénombrer des objets

Remarque et suggestion

Résumé

Dans la suite des nombres naturels de 1 à 25, représentés par des pyramides régulières de cubes, calculer la différence entre la somme des nombres pairs et celle des nombres impairs.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Construire ou dessiner la tour de 25 étages ou son début pour réaliser que le nombre de cubes noirs sera donné par la somme des nombres impairs de 1 à 25, sur la base des modèles fourni :

- dans la tour de Richard, il y a 1 + 3 = 4 cubes noirs et 2 + 4 = 6 cubes blancs, avec une différence de 2 ;

- dans la tour de Claire, il y a 1 + 3 +5 =9 cubes noirs et 2 + 4 = 6 cubes blancs, avec une différence de 3.

Effectuer les calculs

- cubes noirs : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + ... + 25 = 169

- cubes blancs : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 24 = 156

- différence : 169 – 156 = 13.

Ou, sans calculer les sommes décrites ci-dessus, calculer les différences une à une (25 – 24) + (23 – 22) + (21 – 20) + ... (il y a un cube supplémentaire dans les deux premiers étages, puis à nouveau un autre cube pour les deux suivants, ... donc il y a 12 cubes noirs supplémentaires pour les 12 premières paires d'étages auxquels il faut ajouter celui du haut de la tour : 12 + 1 = 13.

Ou, après avoir construit les tours de Richard (B – N = 2) et de Claire (N – B = 3), considérer la tour suivante et vérifier que la différence est toujours de 3. Considérer ensuite les deux suivantes et vérifiez que la différence entre le nombre des cubes noirs et celle des cubes blancs donne 4. Imaginer alors que les différences sont les mêmes pour les paires suivantes. Ensuite, procéder au décompte ou trouver une stratégie pour calculer sans écrire toutes les tentatives, par exemple 24/2 + 1, jusqu'à déterminer que la différence pour la tour à 25 étages est de 13 cubes.

Notions mathématiques

progression, suite, nombre triangulaire, récurrence, cube, somme, nombre naturel

Résultats

29.I.07

Points attribués sur 2153 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Bonne réponse (13) avec une explication claire et complète (construction des tours, représentation graphique et / ou tableau, détail de tous les calculs effectués, remarques claires ...) qui fait comprendre la procédure adoptée
• 3 points: Bonne réponse avec une explication incomplète ou peu claire
  ou raisonnement complet et clair mais pas de réponse explicite
• 2 points: Bonne réponse sans aucune explication
  ou réponse erronée ou manquante mais avec une compréhension claire de la relation couleur noir / impair et blanc / pair et une recherche cohérente avec une seule erreur de calcul, de représentation ou de construction
  ou réponse correcte mais avec des couleurs inversées, c'est-à-dire le cube supérieur blanc, les étages blancs / impairs et les étages pairs / noirs
• 1 point: Début de recherche cohérente (compréhension de la relation couleur noire à la base / nombre impair d'étages et couleur blanche à la base / nombre pair d'étages attestant de la compréhension du problème)
• 0 point: Mauvaise compréhension du problème
  ou erreur due à une "fausse proportionnalité" (réponse 15)

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