ARMT

Banca di problemi del RMT

op145-it

centre

Torri di cubetti (II)

Identificazione

Rally: 29.I.07 ; categorie: 5, 6 ; ambiti: OPN, FN
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Nella successione dei numeri naturali da $1$ a $25$, calcolare la differenza tra la somma dei numeri pari e quella dei numeri dispari.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Appropriarsi della situazione, osservando le immagini comprendere che:

- Costruire o disegnare la torre di $25$ piani o il suo inizio per rendersi conto che il numero dei cubi neri sarà dato dalla somma dei numeri dispari da $1$ a $25$, sulla base dei modelli forniti:

nella torre di Riccardo ci sono $1 + 3 = 4$ cubetti neri e $2 + 4 = 6$ cubetti bianchi, con una differenza di $2$;

nella torre di Clara ci sono $1 + 3 + 5 = 9$ cubetti neri e $2 + 4 = 6$ cubetti bianchi, con una differenza di $3$.

- Effettuare i calcoli

cubetti neri: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + \ldots + 25 = 169$

cubetti bianchi: $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + \ldots + 24 = 156$

differenza: $169 – 156 = 13$

Oppure

- Senza effettuare le somme sopra descritte, calcolare le differenze una a una $(25 – 24) + (23 – 22) + (21 – 20) + \ldots$ (c’è un cubetto in più nei primi due piani, poi di nuovo un altro cubetto per i due successivi, ... quindi ci sono $12$ cubetti neri in più per le prime $12$ coppie di piani a cui si deve aggiungere quello che sta alla sommità della torre: $12 + 1 = 13$

Oppure

- Calcolare che dei $25$ piani totali, $13$ saranno formati da cubetti neri. Siccome ogni piano nero ha un cubetto in più del soprastante piano bianco, dedurre che ci sono $13$ cubetti neri in più rispetto a quelli bianchi

Oppure

- Dopo avere costruito le torri di Riccardo $(B – N = 2)$ e Clara $(N – B = 3)$ considerare la torre successiva e verificare che la differenza è ancora $3$. Considerarne quindi le ulteriori due successive e verificare che la differenza tra il numero dei cubetti neri e quello dei cubetti bianchi risulta $4$. Intuire quindi che le differenze sono uguali tra loro per le coppie successive. A quel punto procedere nel conteggio, o trovare una strategia per calcolare senza scrivere tutti i tentativi, ad esempio $24 / 2 + 1$, fino a determinare come la differenza per la torre con $25$ piani sia di $13$ cubetti.

Nozioni matematiche

progressione, successione, numero tiangolare, ricorrenza, cubo, somma, numero naturale

Risultati

29.I.07

Punti attribuiti su 2153 classi di 19 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 5294 (36%)120 (14%)138 (17%)70 (8%)206 (25%)8281.73
Cat 5347 (26%)140 (11%)203 (15%)131 (10%)504 (38%)13252.23
Totale641 (30%)260 (12%)341 (16%)201 (9%)710 (33%)21532.04
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

(c) ARMT, 2021-2024