Cerises

Identification

Rallye: 29.I.11 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• DCP - Décomposer un nombre naturel

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Résumé

Trouver trois nombres entiers, sachant que le deuxième nombre vaut 20 de plus que le premier, qu'il manque 5 au troisième pour arriver au double du premier et que la somme de ces trois nombres est 103

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Quitter le contexte des cerises et percevoir les trois nombres encore inconnus ( F, L et A) et leurs trois relations : L : 20 de plus que F ; A : 5 de moins que le double de F ; la somme des trois nombres est 103.

- La procédure par essais organisés progressivement convient parfaitement pour des élèves qui n’ont pas encore de connaissances algébriques, par exemple, en partant d’une valeur pour F on calcule les deux autres au moyen des deux premières relations ci-dessus :

si F = 10, L = 30 (10 + 20), A = 15 (2x10 – 5) et au total 10 + 30 + 15 = 55, ce qui est insuffisant,

si F = 20, L = 40, A = 35, au total 95, on s’approche,

pour arriver à : F = 22, L = 42, A = 39 ; 22 + 42 + 39 = 103.

Cette procédure peut être plus ou moins développée, de trois essais comme dans l’exemple à tous les essais envisageables (liste ou tableau), avec l’idée naissante de variable et de fonction qui pourra faire partie des exploitations didactiques futures.

- Une procédure plus générale peut être favorisée par la manière dont l’énoncé exprime les relations, où les nombres de L et de A sont donnée en référence à celui de F. En langage de l’élève (forme rhétorique) on peut considérer que le nombre de F, additionné au nombre de F plus 20 (nombre de L) puis au double du nombre de F moins 5 (nombre de A) représente quatre fois le nombre de F plus 15 (20 – 5) et que cette somme est égale à 103. A ce moment on peut déduire de la différence entre 15 et 103 : 88, que quatre fois le nombre de F est 88 et que le nombre de F est 22.

Ce type de procédure peut être accompagné de symboles représentant le nombre de F (un carré, un segment, un « F » …) pour « visualiser » la grandeur inconnue, répétée quatre fois, et les deux nombres 15 et 103. Le modèle des deux plateaux d’une balance peut aussi être utile.

- La procédure algébrique ne fait que traduire la formulation précédente, en une équation du genre : F + F + 20 + (2F − 5) = 103. Parmi les obstacles, on peut relever la difficulté à choisir un des trois nombres pour commencer les essais.

Il peut y avoir des réponses erronées dues à la prise en compte de deux seulement des trois relations. Par exemple avec la première et la troisième, si le choix du nombre de F est 10, le nombre de L est 30, la somme des deux est 40 et, sans tenir compte de la deuxième relation A serait 103 – 40 = 65.

Une autre erreur possible est de considérer que : « Comme il manque 5 au troisième pour arriver au double du premier alors C – 5 = 2 A ».

Notions mathématiques

nombre naturel, décomposition, comparaison, double, somme, addition, multiplication

Résultats

29.I.11

Points attribués sur 2799 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Fabien 22 ; Livia 42, Albert 39) avec une explication claire et complète (les essais à rejeter et l’essai retenu correct comme vérification clairement identifié ou procédure plus générale comme dans l’analyse précédente ou encore autre explication convaincante)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications peu claires ou incomplètes (par exemple les calculs et essais sans explications)
  ou réponse 22 - 42 - 39 avec une explication claire sans préciser les noms F, L et A
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou réponse incorrecte en raison d’une erreur de calcul mais avec procédure correcte
• 1 point: Début de recherche correct (par exemple : les données concernant les relations ont été comprises et représentées correctement ; la procédure par essais a été mise en œuvre sans parvenir à la bonne réponse)
  ou une réponse cohérente mais ne tenant compte que de deux conditions, (du genre de celle de l’exemple)
• 0 point: Incompréhension du problème