Banque de problèmes du RMT
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Trouver trois nombres entiers, sachant que le deuxième nombre vaut 20 de plus que le premier, qu'il manque 5 au troisième pour arriver au double du premier et que la somme de ces trois nombres est 103
Analyse de la tâche a priori
- Quitter le contexte des cerises et percevoir les trois nombres encore inconnus ( F, L et A) et leurs trois relations : L : 20 de plus que F ; A : 5 de moins que le double de F ; la somme des trois nombres est 103.
- La procédure par essais organisés progressivement convient parfaitement pour des élèves qui n’ont pas encore de connaissances algébriques, par exemple, en partant d’une valeur pour F on calcule les deux autres au moyen des deux premières relations ci-dessus :
si F = 10, L = 30 (10 + 20), A = 15 (2x10 – 5) et au total 10 + 30 + 15 = 55, ce qui est insuffisant,
si F = 20, L = 40, A = 35, au total 95, on s’approche,
pour arriver à : F = 22, L = 42, A = 39 ; 22 + 42 + 39 = 103.
Cette procédure peut être plus ou moins développée, de trois essais comme dans l’exemple à tous les essais envisageables (liste ou tableau), avec l’idée naissante de variable et de fonction qui pourra faire partie des exploitations didactiques futures.
- Une procédure plus générale peut être favorisée par la manière dont l’énoncé exprime les relations, où les nombres de L et de A sont donnée en référence à celui de F. En langage de l’élève (forme rhétorique) on peut considérer que le nombre de F, additionné au nombre de F plus 20 (nombre de L) puis au double du nombre de F moins 5 (nombre de A) représente quatre fois le nombre de F plus 15 (20 – 5) et que cette somme est égale à 103. A ce moment on peut déduire de la différence entre 15 et 103 : 88, que quatre fois le nombre de F est 88 et que le nombre de F est 22.
Ce type de procédure peut être accompagné de symboles représentant le nombre de F (un carré, un segment, un « F » …) pour « visualiser » la grandeur inconnue, répétée quatre fois, et les deux nombres 15 et 103. Le modèle des deux plateaux d’une balance peut aussi être utile.
- La procédure algébrique ne fait que traduire la formulation précédente, en une équation du genre : F + F + 20 + (2F − 5) = 103. Parmi les obstacles, on peut relever la difficulté à choisir un des trois nombres pour commencer les essais.
Il peut y avoir des réponses erronées dues à la prise en compte de deux seulement des trois relations. Par exemple avec la première et la troisième, si le choix du nombre de F est 10, le nombre de L est 30, la somme des deux est 40 et, sans tenir compte de la deuxième relation A serait 103 – 40 = 65.
Une autre erreur possible est de considérer que : « Comme il manque 5 au troisième pour arriver au double du premier alors C – 5 = 2 A ».
nombre naturel, décomposition, comparaison, double, somme, addition, multiplication
Points attribués sur 2799 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 175 (25%) | 63 (9%) | 198 (29%) | 142 (20%) | 115 (17%) | 693 | 1.94 |
| Cat 6 | 326 (32%) | 105 (10%) | 267 (26%) | 160 (15%) | 175 (17%) | 1033 | 1.76 |
| Cat 7 | 244 (23%) | 65 (6%) | 268 (25%) | 193 (18%) | 303 (28%) | 1073 | 2.23 |
| Total | 745 (27%) | 233 (8%) | 733 (26%) | 495 (18%) | 593 (21%) | 2799 | 1.98 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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