Banca di problemi del RMT
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Trovare tre numeri naturali, sapendo che il secondo numero supera di 20 unità il primo, che ne mancano 5 al terzo per arrivare al doppio del primo e che la somma di questi tre numeri è 103
Analisi a priori
- Allontanarsi dal contesto delle ciliegie e percepire i tre numeri ancora sconosciuti (di F, di L e di A) e le loro tre relazioni: L ha 20 in più di F; A è 5 meno del doppio F; la somma è 103.
- La procedura per tentativi progressivamente organizzati è ideale per gli allievi che non hanno ancora conoscenze algebriche: per esempio, partendo da un valore per F, gli altri due vengono calcolati utilizzando le prime due relazioni di cui sopra:
se F ha 10, L ha 30 (10 + 20), A ha 15 (2 × 10 − 5) e in totale 10 + 30 + 15 = 55, che è insufficiente,
se F ha 20, L ha 40, A ha 35, in totale 95, ci si avvicina,
per arrivare a: F ha 22, L ha 42, A ha 39; 22 + 42 + 39 = 103.
Questa procedura può essere più o meno sviluppata, dai tre tentativi esemplificati a tutti i tentativi possibili (lista o tabella), con le idee iniziali di variabile e funzione che potrebbero essere parte di future indicazioni didattiche.
Una procedura più generale può essere favorita dal modo in cui l'enunciato esprime le relazioni, dove i numeri di L e A sono riportati in riferimento a quello di F. Nel linguaggio dell'allievo (forma retorica) possiamo considerare che il numero di F, aggiunto al numero di F più 20 (numero di L) e quindi al doppio del numero di F meno 5 (numero di A) rappresenta quattro volte il numero di F più 15 (20 − 5) e che questa somma è uguale a 103. A questo punto si può dedurre, dalla differenza tra 15 e 103: 88, che quattro volte il numero di F è 88 e che il numero di F è 22.
- Questo tipo di procedura può essere accompagnata da simboli che rappresentano il numero di F (un quadrato, un segmento, una “F”…) per “visualizzare” la grandezza incognita, ripetuta quattro volte, e dai due numeri 15 e 103. Può anche essere utile il modello di una bilancia a due piatti.
La procedura algebrica traduce solo la formulazione precedente, in un'equazione come: F + F + 20 + (2F − 5) = 103. Fra gli ostacoli, si può rilevare la difficoltà a scegliere uno dei tre numeri per cominciare i tentativi. Potrebbero esserci risposte errate dovute alla considerazione di solo due delle tre relazioni. Ad esempio con la prima e la terza, se la scelta del numero di F è 10, il numero di L è 30, la somma dei due è 40 e, trascurando la seconda relazione A sarebbe 103 – 40 = 65.
Un altro errore possibile è considerare che: ”Siccome manca 5 al terzo numero per arrivare al doppio del primo allora C − 5 = A”
nombre naturel, décomposition, comparaison, double, somme, addition, multiplication
numero naturale, scomposizione, comparazione, doppia, somma, addizione, moltiplicazione
Punti attribuiti su 2702 classi di 18 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 175 (25%) | 63 (9%) | 198 (29%) | 142 (20%) | 115 (17%) | 693 | 1.94 |
| Cat 6 | 326 (32%) | 105 (10%) | 267 (26%) | 160 (15%) | 175 (17%) | 1033 | 1.76 |
| Cat 7 | 244 (23%) | 65 (6%) | 268 (25%) | 193 (18%) | 303 (28%) | 1073 | 2.23 |
| Totale | 745 (27%) | 233 (8%) | 733 (26%) | 495 (18%) | 593 (21%) | 2799 | 1.98 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :
(En voie d'analyse)
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