La tirelire

Identification

Rallye: 29.I.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPD, OPN, NU
Familles:

• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux
• DCD - Décomposer un nombre décimal
• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs

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Résumé

Trouver quels sont les diviseurs de 540 , qui peuvent être la somme de quatre termes différents choisis parmi 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 et 200 dans un contexte de pièces de monnaie

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Se rendre compte qu’il y a beaucoup de manières de choisir quatre valeurs différentes parmi les huit à disposition pour obtenir 5,40.

- Comprendre que, lorsque l’on a choisi les quatre valeurs différentes ; par exemple 1 ; 0,5 ; 0,2 ; 0,05 on peut calculer la somme 1 + 0,5 + 0,2 + 0,05 = 1,75 € ou 175 centimes et que si on prend le même nombre de fois chacune de ces valeurs, par exemple 3, la somme des valeurs de l’exemple précédent serait 3 × 175 = 525. Comme 540 n’est pas un multiple de 175 , ce choix des quatre valeurs est à rejeter.

- Le problème revient à trouver des couples de nombres N et (a + b + c + d) dont le produit est 540, couples constitués des diviseurs de 540. Il y en a 12 : (1 et 540 ; 2 et 270 ; 3 et 180, 4 et 135 ; 5 et 108 ; 6 et 90 ; 9 et 60 ; 10 et 54 ; 12 et 45 ; 15 et 36 ; 18 et 30 ; 20 et 27).

• Pour N = 1, la somme 540 ne peut pas être obtenu avec quatre des valeurs à disposition
• Pour N = 2, il faut que la somme soit 5,40 ÷ 2 = 2,70 qui ne peut pas être obtenue en quatre pièces différentes
• Pour N = 3, il faut que la somme soit 180 qui peut être obtenue comme 1 + 0,5 + 0,2 + 0,1. Il peut donc y avoir 3 pièces de chacune de ces quatre valeurs, soit 12 pièces en tout.

Il y a en tout 5 essais qui aboutissent :

  N = 3   540 = 3 × 180 = 3 × (100 + 50 + 20 + 10) en 12 pièces
  N = 4   540 = 4 × 135 = 4 ×  (100 + 20 + 10 + 5) en 16 pièces
  N = 5   540 = 5 × 108 = 5 × (100 + 5 + 2 + 1) en 20 pièces
  N = 15  540 = 15 × 36 = 15 × (20+ 10 + 5 + 1) en 60 pièces
  N = 30  540 = 30 × 18  = 30 × (10 + 5 + 2 + 1) en 120 pièces

Ou:

- Procéder par tentatives non organisées, sans reconnaître la distributivité du produit mais avec le risque d’oublier des solutions.

Erreurs possibles : ne pas respecter la condition de quatre valeurs différentes ou celle du même nombre de pièces.

Obstacle : sans reconnaître la distributivité, (produit) il devient très difficile de trouver toutes les solutions.

Le problème offre l’occasion d’aborder les propriétés des opérations de manière non mécanique et, avec la demande d'effectuer un contrôle rigoureux sur les 12 paires de diviseurs, permet de poursuivre un objectif important de l'enseignement des mathématiques.

Résultats

29.I.14

Points attribués sur 1864 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (les cinq possibilités mentionnées ci-dessus avec détails), avec une procédure claire qui montre les tentatives ou mentionnant au moins la recherche des “diviseurs”
• 3 points: Réponse correcte et complète (les cinq possibilités mentionnées ci-dessus avec détails) avec tentatives peu claires ou avec une explication incomplète de la procédure de recherche
  ou réponse avec 4 possibilités correctes, avec détails, avec une procédure claire qui montre les tentatives ou mentionnant au moins la recherche des “diviseurs
• 2 points: Réponse avec 4 possibilités correctes sans commentaires ni explications
  ou réponse avec 2 ou 3 possibilités correctes, avec détails
• 1 point: Une seule possibilité correcte trouvée
  ou début de recherche avec des solutions incorrectes
• 0 point: Incompréhension du problème