|
Banque de problèmes du RMTop149-fr |
|
Trouver quels sont les diviseurs de 540 , qui peuvent être la somme de quatre termes différents choisis parmi 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 et 200 dans un contexte de pièces de monnaie
Analyse de la tâche a priori
- Se rendre compte qu’il y a beaucoup de manières de choisir quatre valeurs différentes parmi les huit à disposition pour obtenir 5,40.
- Comprendre que, lorsque l’on a choisi les quatre valeurs différentes ; par exemple 1 ; 0,5 ; 0,2 ; 0,05 on peut calculer la somme 1 + 0,5 + 0,2 + 0,05 = 1,75 € ou 175 centimes et que si on prend le même nombre de fois chacune de ces valeurs, par exemple 3, la somme des valeurs de l’exemple précédent serait 3 × 175 = 525. Comme 540 n’est pas un multiple de 175 , ce choix des quatre valeurs est à rejeter.
- Le problème revient à trouver des couples de nombres N et (a + b + c + d) dont le produit est 540, couples constitués des diviseurs de 540. Il y en a 12 : (1 et 540 ; 2 et 270 ; 3 et 180, 4 et 135 ; 5 et 108 ; 6 et 90 ; 9 et 60 ; 10 et 54 ; 12 et 45 ; 15 et 36 ; 18 et 30 ; 20 et 27).
Il y a en tout 5 essais qui aboutissent :
N = 3 540 = 3 × 180 = 3 × (100 + 50 + 20 + 10) en 12 pièces N = 4 540 = 4 × 135 = 4 × (100 + 20 + 10 + 5) en 16 pièces N = 5 540 = 5 × 108 = 5 × (100 + 5 + 2 + 1) en 20 pièces N = 15 540 = 15 × 36 = 15 × (20+ 10 + 5 + 1) en 60 pièces N = 30 540 = 30 × 18 = 30 × (10 + 5 + 2 + 1) en 120 pièces
Ou:
- Procéder par tentatives non organisées, sans reconnaître la distributivité du produit mais avec le risque d’oublier des solutions.
Erreurs possibles : ne pas respecter la condition de quatre valeurs différentes ou celle du même nombre de pièces.
Obstacle : sans reconnaître la distributivité, (produit) il devient très difficile de trouver toutes les solutions.
Le problème offre l’occasion d’aborder les propriétés des opérations de manière non mécanique et, avec la demande d'effectuer un contrôle rigoureux sur les 12 paires de diviseurs, permet de poursuivre un objectif important de l'enseignement des mathématiques.
Points attribués sur 1864 classes de 21 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 7 | 189 (21%) | 437 (49%) | 236 (27%) | 26 (3%) | 2 (0%) | 890 | 1.12 |
Cat 8 | 77 (11%) | 257 (38%) | 265 (39%) | 72 (11%) | 4 (1%) | 675 | 1.51 |
Cat 9 | 8 (5%) | 45 (30%) | 72 (48%) | 18 (12%) | 8 (5%) | 151 | 1.82 |
Cat 10 | 7 (5%) | 30 (20%) | 75 (51%) | 18 (12%) | 18 (12%) | 148 | 2.07 |
Total | 281 (15%) | 769 (41%) | 648 (35%) | 134 (7%) | 32 (2%) | 1864 | 1.39 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
(c) ARMT, 2021-2024