Il salvadanaio

Identificazione

Rally: 29.I.14 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: OPD, OPN, NU
Famiglie:

• AMD - Addizionare e moltiplicare numeri decimali
• DCD - Scomporre un numero decimale
• DIV - Ricercare dei multipli e/o dei divisori

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Sunto

Trovare quali sono i divisori di $540$ che possono essere somma di quattro diversi termini scelti tra $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$, $100$ e $200$ in un contesto di monete.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Rendersi conto che ci sono molti modi di scegliere quattro diversi tra questi otto valore per ottenere $5,40$ €

- Comprendere che, una volta scelti i quattro valori diversi, per esempio $1$; $0,5$; $0,2$; $0,05$ possiamo calcolare la somma $1 + 0,5 + 0,2 + 0,05 = 1,75$ € o $175$ centesimi e che prendendo lo stesso numero di volte ciascuno di questi valori, ad esempio $3$, la somma dei valori dell’esempio precedente sarebbe $3 \times 175 = 525$. Siccome $540$ non è multiplo di $175$, questa scelta delle quattro valori diversi non è valida.

Il problema consiste nella ricerca di coppie di numeri $N$ e $(a + b + c + d)$ il cui prodotto sia $540$ e dunque nel pensare ai “divisori” di $5,40$ (in euro) oppure ai divisori di $540$ (in centesimi). Ci sono $12$ coppie: ($1$ e $540$; $2$ e $270$; $3$ e $180$, $4$ e $135$; $5$ e $108$; $6$ e $90$; $9$ e $60$; $10$ e $54$; $12$ e $45$; $15$ e $36$; $18$ e $30$; $20$ e $27$).

Per $N = 1$, la somma $540$ non può essere ottenuta con quattro dei valori a disposizione

Per $N = 2$, occorre che la somma sia $540 \div 2 = 270$ che non può essere ottenuto con quattro monete differenti.

Per $N = 3$, occorre che la somma sia $540 \div 3 = 180$ che si può ottenere come $1 + 50 + 20 + 10$. Si possono quindi avere $3$ monete per ciascuno dei quattro valori, cioè $12$ monete in tutto.

I tentativi che vanno a buon fine (portano a soluzione) sono cinque

• $N = 3$: $540 = 3 \times 180 = 3 \times (100 + 50 + 20 + 10)$ con $12$ monete
• $N = 4$: $540 = 4 \times 135 = 4 \times (100 + 20 + 10 + 5)$ con $16$ monete
• $N = 5$: $540 = 5 \times 108 = 5 \times (100 + 5 + 2 + 1)$ con $20$ monete
• $N = 15$: $540 = 15 \times 36 = 15 \times (20+ 10 + 5 + 1)$ con $60$ monete
• $N = 30$: $540 = 30 \times 18 = 30 \times (10 + 5 + 2 + 1)$ con $120$ monete

Oppure

- Procedere per tentativi non organizzati, senza riconoscere la distributività del prodotto, ma con il rischio di dimenticare soluzioni.

Errori possibili: non rispettare la condizione di quattro valori diversi oppure quella dello stesso numero di monete.

Ostacolo: senza riconoscere la distributività del prodotto diventa molto complesso trovare tutte le soluzioni. Il problema fornisce lo spunto per affrontare in modo non meccanico le proprietà delle operazioni e, con la richiesta di effettuare un rigoroso controllo sulle $12$ coppie di divisori, permette di perseguire un obiettivo importante dell’insegnamento della matematica.

Risultati

29.I.14

Punti attribuiti su 1864 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta e completa (le cinque possibilità riportate sopra con i dettagli), con procedimento chiaro che mostri i tentativi oppure dove si dica almeno di aver ricercato i divisori
• 3 punti: Risposta corretta e completa (le cinque possibilità riportate sopra con i dettagli), con tentativi poco chiari oppure con spiegazione incompleta sulla procedura di ricerca
  oppure risposta con $4$ possibilità corrette con i dettagli, con procedimento chiaro che mostri i tentativi oppure dove si dica almeno di aver ricercato i divisori
• 2 punti: Risposta con $4$ possibilità corrette senza commenti né spiegazioni
  oppure risposta con $2$ o $3$ possibilità corrette, con dettagli
• 1 punto: Trovata una sola possibilità corretta
  oppure inizio di ricerca con possibilità errate
• 0 punto: Incomprensione del problema