Les bonnes sommes

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Rallye: 22.I.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: OPN
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• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres

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Résumé

Avec les 10 nombres : 2, 3, 4, 5, 10, 13, 17, 21, 23, 27, former 5 couples dont les sommes sont 7, 15, 25, 33, 44.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche, a priori :

- Comprendre qu’il faudra utiliser chacun des dix nombres et que la tâche est de les répartir par groupes de deux pour que les additions soient justes.

- Une stratégie est de partir de l’une des cinq sommes, de chercher les couples correspondants puis, pour chacun d’eux d’envisager la recherche des autres sommes à compléter avec les huit nombres qui restent.

Par exemple en commençant par 44, il y a deux couples possibles : (21 ; 23) et (27 ; 17) : Avec 21 + 23 = 44, il reste huit nombres : 2, 3, 4, 5, 10, 13, 17, 27 qui ne permettent pas de former un couple dont la somme est 34. Il faut donc renoncer à 21 + 23 = 44 et adopter 27 + 17 = 44 et il restera les huit nombres 2, 3, 4, 5, 10, 13, 21, 23 pour poursuivre la recherche. Puis le couple (13 ; 21) sera le seul dont la somme est 34. Puis le couple (23 ; 2) sera le seul des six nombres 2, 3, 4, 5, 10, 23 pour obtenir 25. Finalement, avec les quatre nombres 3, 4, 5, 10 on obtient 10 + 5 = 15 et 3 + 4 = 7.

- Une autre stratégie est d’envisager d’abord les sommes possibles avec les dix nombres donnés et éventuellement d’en dresser un inventaire. On pourra constater alors que la somme 34 n’apparaît que pour le couple (21 ; 13) alors que pour les autres sommes 44, 25, 15 et 7, il y a à chaque fois deux couples. Eliminer alors les couples avec les termes 13 et 21 (23 + 21 ; 4 + 21 et 13 + 2) pour obtenir 44 = 27 + 17, 25 = 2 + 23, 15 = 10 + 5. Et finalement 7 = 4 + 3 qui sont les seuls termes encore à disposition.

- Une autre procédure est de travailler par essais en additionnant au hasard deux des dix nombres, avec les contrôles nécessaires."

Notions mathématiques

nombres naturels, addition, associativité, somme, comparaison

Résultats

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Résultat correct et complet (7 = 3 + 4 ; 15 = 10 + 5 ; 25 = 23 + 2 ; 34 = 21 + 13 ; 44 = 27 + 17) avec démarche claire qui montre par exemple l’ordre dans lequel les calculs ont été traités
• 3 points: Résultat correct et complet sans explications
  ou 4 sommes correctes, sans répétition et avec explications
• 2 points: Trois ou quatre des sommes correctes, sans répétition d’un nombre et sans explications
• 1 point: Trois ou quatre des sommes correctes mais avec répétition d’un même nombre
  ou deux des sommes correctes et éventuellement d’autres sommes incorrectes, mais sans répétition d’un même nombre
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les résultats sont clairs, la très grande majorité des classes (84%) trouve la répartition correcte « sans explications ».

La demande d'explication est inutile, ce serait le seul "obstacle" relevé. Il y a inadéquation entre l'attente de l'adulte lorsqu'il formule cette demande et sa perception par des élèves de 8 à 9 ans.