Banque de problèmes du RMT
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Trouver deux entiers naturels m et n tels que 5m + 6n = 9m + 3n = 78.
Pour s'approprier la situation, il faut comprendre que : Marta et Arianna achètent chacune des paquets de crayons et des paquets de stylos, mais en quantités différentes ; les paquets de crayons sont du même type, ils contiennent donc tous le même nombre de crayons ; de même, les paquets de stylos étant également du même type, ils contiennent tous le même nombre de stylos. Finalement, Marta et Arianna achètent, stylos et crayons compris, le même nombre d'objets (78).
Il existe plusieurs façons de déterminer le nombre de crayons et de stylos dans chaque paquet :
- Comparer les achats effectués par Marta et Arianna et observer que Marta a acheté 4 paquets de crayons de moins qu'Arianna et 3 paquets de stylos de plus qu'Arianna. Puisque les nombres totaux d'articles achetés par chacune sont égaux, les 4 paquets de crayons doivent avoir le même nombre d'articles que les 3 paquets de stylos. Chercher ensuite un multiple commun de 4 et de 3. par exemple 12 = 4 × 3 = 3 × 4. Supposer que dans un paquet de crayons il y en ait 3 et dans un paquet de stylos il y en ait 4. Mais la vérification 5 × 3 + 6 × 4 = 39 < 78, montre que 12 ne convient pas. Procéder alors avec une autre multiple de 12, 24 = 4 × 6 = 3 × 8, correspondant à l'hypothèse de 6 crayons par paquet et 8 stylos par paquet. Vérifier que 5 × 6 + 6 × 8 = 78 = 9 × 6 + 3 × 8, et constater qu'on est en présence d'une solution. Noter ensuite que 36 ne convient pas, car on obtiendrait 4 × 5 + 6 × 12 > 78. On peut ainsi exclure tous les multiples de 12 qui suivent. Conclure qu'il y a 6 crayons par paquet et 8 stylos par paquet.
- Ou procéder par essais et erreurs, par exemple en supposant un nombre m de crayons dans chaque paquet, trouver le nombre p de stylos par paquet : p = (78 – 5m) ÷ 6p et, si c'est un entier, vérifier si 9m + 3p = 78.
- Ou, par une procédure algébrique, désignerr le nombre de crayons dans chaque paquet par x et le nombre de stylos dans chaque paquet par y et établir le système de deux équations : 5x + 6y = 78 et 9x + 3y = 78 et trouver que x = 6, y = 8, ou définir l'équation 5x + 6(26 - 3x) = 78
- Ou observer que 4x = 3y, donc y = (4/3)x. Comme y doit être un entier, x ne doit être recherché que parmi les multiples de 3. Essayer de remplacer x par les valeurs 3, 6, 9, ......, en déterminant les valeurs y correspondantes à l'aide de l'une des les équations, puis vérifier leur exactitude en remplaçant les valeurs de x et y dans la deuxième équation, en vérifiant qu'une identité est obtenue.
multiplication, addition, somme, produit, multiple, multiple commun, nombre entier, nombre naturel, équation, système d’équations
Points attribués sur 1766 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 364 (44%) | 83 (10%) | 225 (27%) | 104 (12%) | 58 (7%) | 834 | 1.29 |
| Cat 8 | 175 (27%) | 55 (9%) | 213 (33%) | 91 (14%) | 107 (17%) | 641 | 1.84 |
| Cat 9 | 19 (13%) | 11 (7%) | 61 (41%) | 21 (14%) | 35 (24%) | 147 | 2.29 |
| Cat 10 | 15 (10%) | 7 (5%) | 30 (21%) | 17 (12%) | 75 (52%) | 144 | 2.9 |
| Total | 573 (32%) | 156 (9%) | 529 (30%) | 233 (13%) | 275 (16%) | 1766 | 1.71 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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