ARMT

Banca di problemi del RMT

op150-it

centre

In cartoleria

Identificazione

Rally: 29.I.15 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: OPN, AL
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare due numeri naturali m e n tali che 5m + 6n = 9m + 3n = 78.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Per appropriarsi della situazione comprendere che: Marta e Arianna acquistano ciascuna confezioni di matite e confezioni di penne, ma in quantità diverse; le confezioni di matite sono dello stesso tipo, quindi contengono tutte lo stesso numero di matite; analogamente, poiché sono dello stesso tipo anche le confezioni di penne, contengono tutte lo stesso numero di penne; alla fine, Marta e Arianna acquistano, tra penne e matite, lo stesso numero di oggetti (78).

Per determinare quante matite e quante penne ci sono in ogni confezione, si può procedere in più modi:

- Per tentativi, per esempio ipotizzando un numero m di matite in ogni confezione, trovare il numero p di penne per confezione: p = (78 – 5m) ÷ 6p e, nel caso venga un numero intero, verificare se 9m + 3p = 78.

- Oppure: per via algebrica, indicare con x il numero di matite di ciascuna confezione e con y quello delle penne di ciascuna confezione ed impostare il sistema con le due equazioni: 5x + 6y = 78, 9x + 3y = 78 e trovare x = 6, y = 8, oppure impostare l’equazione 5x + 6(26 - 3x) = 78.

- Oppure: osservare che 4x = 3y, quindi y = (4/3)x. Poiché y deve essere un numero intero, x dovrà essere cercato tra i soli multipli di 3. Provare a sostituire a x i valori 3, 6, 9, ……, determinando i corrispondenti valori di y tramite una delle equazioni, verificarne poi la correttezza sostituendo i valori di x e y nella seconda equazione, controllando che si ottenga un’identità.

Nozioni matematiche

moltiplicazione, addizione, somma, prodotto, multiplo, multiplo comune, numero intero, numero naturale, equazione, sistema di equazioni

Risultati

29.I.15

Punti attribuiti su 1766 classi di 21 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 7364 (44%)83 (10%)225 (27%)104 (12%)58 (7%)8341.29
Cat 8175 (27%)55 (9%)213 (33%)91 (14%)107 (17%)6411.84
Cat 919 (13%)11 (7%)61 (41%)21 (14%)35 (24%)1472.29
Cat 1015 (10%)7 (5%)30 (21%)17 (12%)75 (52%)1442.9
Totale573 (32%)156 (9%)529 (30%)233 (13%)275 (16%)17661.71
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le osservazioni che seguono sono ricavate dall’analisi a posteriori dei 600 elaborati delle sezioni di Milano, Parma, Puglia e Siena (261 di cat. 7, 145 di cat. 8, 95 di cat. 9 e 99 di cat. 10). Gli elaborati consegnati in bianco sono circa il 13% del totale, ma la percentuale è quasi raddoppiata in cat. 7, a dimostrazione della maggiore difficoltà incontrata dagli allievi di questa categoria.

L’analisi a posteriori ha anche evidenziato che in più del 30% degli elaborati, non è stata correttamente interpretata la frase del testo “Alla fine, sia Marta sia Arianna hanno acquistato, tra penne e matite, 78 oggetti di cartoleria”, che ha portato a considerare 78 come il numero di oggetti acquistati in totale da Marta e Arianna e, in caso di ragionamento corretto, a fornire la risposta “3 matite per confezione e 4 penne per confezione”. Questa interpretazione è presente in tutte le categorie, con percentuale più elevata in cat. 9 (41%).

La procedura più applicata in generale (presente nel 20% del totale degli elaborati), è quella per tentativi, che risulta essere anche la procedura più utilizzata in tutte le categorie, ad eccezione che in cat. 10. Spesso però i tentativi non sono riportati e pochi sono anche i casi in cui i tentativi sono organizzati in tabella. In qualche elaborato, gli allievi arrivano alla soluzione corretta lasciandosi guidare da ciò che accade nella realtà, in cui, come si trova scritto, “generalmente le confezioni di matite più piccole contengono 6 pezzi”, e poi verificano che, con questa ipotesi, tutto torna.

La procedura prealgebrica/algebrica è presente solo a partire dalla cat. 8 e compare nel 15% del totale degli elaborati. Si osserva però, al crescere della categoria, una sua progressiva evoluzione che, a partire da rappresentazioni di tipo prealgebrico, passa via via a forme più strutturate algebricamente, fino ad essere espressa con un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Parallelamente si riscontra un aumento progressivo del suo utilizzo che dai pochi casi di cat. 8, arriva adi assumere il ruolo di strategia predominante in cat. 10, dove compare nel 64% degli elaborati. Da rilevare la presenza in cat. 8 di alcuni elaborati interessanti che mostrano come gli allievi, posti di fronte alla necessità di gestire contemporaneamente due valori incogniti relazionati tra loro per cercare di determinarli, si attivano per trovare un modo per farlo (per es. in uno di questi elaborati gli allievi, ragionando sulle due uguaglianze scritte, di fatto le due equazioni che traducono algebricamente il problema, sono stati in grado di trovare la soluzione, applicando, in modo del tutto naturale e spontaneo, il “metodo di riduzione”).

Una procedura basata sul riconoscimento della relazione che “il numero di matite contenute in 4 confezioni è uguale al numero di penne contenute in 3 confezioni” e poi sulla ricerca dei multipli di 12, (espressa in forma di rapporto m/p = 3/4) compare in un solo elaborato di cat. 7. ma si ritrova più volte in elaborati di cat, 9 e 10, nei quali gli allievi utilizzano la procedura algebrica.

Negli elaborati esaminati sono presenti anche due procedure non previste a priori.

La prima prende avvio dall’informazione che Marta ha acquistato 5 confezioni di matite e 6 confezioni di penne, ed è basata sulla ricerca delle coppie formate da un multiplo di 5 e da un multiplo di 6 con somma 78 e nella successiva verifica per le condizioni di Arianna. Si trova che ci sono due coppie di multipli di 5 e di 6 che vanno bene per matite e penne di Marta, cioè (6, 8) e (12, 3), ma è solo una quella che va bene anche per la situazione di Arianna, cioè la coppia (6, 8), che è, quindi, la soluzione del problema.

L’altra procedura ha origine da una rappresentazione della situazione di Arianna (9 confezioni di matite e 3 di penne per un totale di 78 oggetti), osservando la quale, gli allievi si rendono conto che “3 confezioni di matite e 1 confezione di penne equivalgono ad 1/3 del totale 78 degli oggetti acquistati, quindi a 26 oggetti”. Per trovare poi quante matite ci sono in una confezione gli allievi fanno una tabella con i multipli di 3 (sono 3 le confezioni di matite considerate), e trovano che con il secondo multiplo di 3, cioè 6, le matite sono 18 e quindi dalla differenza tra 26 e 18 ottengono il valore 8 per le penne di una confezione. Verificano poi che i due valori trovati, 6 e 8, vanno bene anche per la situazione di Marta, e risolvono così il problema.

È interessante notare che entrambe le procedure si trovano in elaborati di catt. 7 e 8 a conferma, ancora una volta, che gli allievi, di fronte ad una situazione problematica non standard, non possedendo ancora lo strumento algebrico, sono stimolati nella ricerca di strategie alternative, riflettendo sulla situazione che hanno davanti con tutti gli strumenti a loro disposizione.

(c) ARMT, 2021-2024