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Banque de problèmes du RMTop151-fr |
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Déterminer si 3 peut être la somme des n premiers termes de la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … 1/n.
analyse a priori
- Comprendre qu’Ariane devra coller ses rubans sur la longueur de la paroi à partir du plus long, puis des autres pris en ordre décroissant.
- Comprendre le sens de la phrase de Béatrice : Tu seras obligée de couper l’un de tes rubans.
- Comprendre que pour déterminer qui a raison, il est nécessaire de passer à une écriture symbolique de la situation : 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … pour atteindre 3.
- Comprendre qu’il est nécessaire de calculer la somme des premiers termes, à partir da 1 + 1/2 = 3/2 ; 3/2 + 1/3 = 11/6 … puis contrôler si l’on atteint 3.
- Se rendre compte que les dénominateurs communs deviennent de plus en plus grands (ppmc de 6 et 4) = 12, ppmc de 12 et 5 = 60, ppmc de 60 et 7 = 420 …) et décider éventuellement de passer aux nombres décimaux.
- Se rendre compte que les sommes augmentent lentement et que la recherche pourrait être longue et que la calculatrice sera la bienvenue.
- Poursuivre par le calcul des sommes successives : 11/6 + 1/4 = 1,83… + 0,25 = 2,083… et tenir compte de la présence de nombres périodiques (on pourrait peut-être se rendre compte que si Ariane voulait s’arrêter à 2 exactement, elle devrait couper un bout du 4e ruban parce que la somme dépasse 2 et se demander ce qu’il arrivera pour 3 ?)
- Poursuivre le calcul des sommes successives, contrôlé au fur et à mesure delle somme successive et arriver à la dixième, voisine de 2,93 (selon le type de calculatrice ou tableur) puis 2,93 + 1/11 = 3,019… qui montre que Beatrice a raison parce que la somme est supérieure à 3 (et la longueur dépasse 3 m) ce qui signifie qu’Ariane doit couper un bout de son dernier ruban (le onzième) si elle veut atteindre exactement 3 m. (Éventuellement, la suite des sommes partielles est 1 ; 1/2 ; 11/6 ; 25/12 ; 137/ 60 ; 49/20 ; 363/40 ; 761/280 ;7129/2520 ; 7381/2520 < 3 ; 83711/27720 > 3 et montre que le 3 se situe entre la dixième et la onzième, c’est-à-dire qu’il faudra couper le 11 ruban)
Ou: dessiner une bande à l’échelle (par exemple où 1 dm correspond à 1 m) et y reporter les rubans (en cm) de 10,0 ; 5,0 ; 3,3 ; 2,5 ; 2,0 ; 1,7 ; 1,4 ; 1,3 ; 1,1 ; 1,0 pour constater, avec une précision au mm près, qu’on n’atteint pas les 30 cm mais à peu près 29,3 (entre 29,2 et 29,5) cm et qu’il faudrait y ajouter une partie de la 11e bande
somme, terme, série, suite, nombre décimal, nombre rationnel, nombre irrationnel, approximation
Points attribués sur 895 classes de 21 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 8 | 118 (23%) | 82 (16%) | 89 (18%) | 96 (19%) | 119 (24%) | 504 | 2.03 |
Cat 9 | 17 (11%) | 12 (8%) | 20 (14%) | 31 (21%) | 68 (46%) | 148 | 2.82 |
Cat 10 | 9 (6%) | 14 (10%) | 21 (15%) | 20 (14%) | 79 (55%) | 143 | 3.02 |
Total | 144 (18%) | 108 (14%) | 130 (16%) | 147 (18%) | 266 (33%) | 795 | 2.36 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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