Les rubans colorés d'Ariane

Identification

Rallye: 29.I.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPQ, FN
Familles:

• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux
• AMQ - Additionner, multiplier, ... comparer, transformer des fractions
• SN - Traiter une suite numérique

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Résumé

Déterminer si 3 peut être la somme des n premiers termes de la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … 1/n.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

analyse a priori

- Comprendre qu’Ariane devra coller ses rubans sur la longueur de la paroi à partir du plus long, puis des autres pris en ordre décroissant.

- Comprendre le sens de la phrase de Béatrice : Tu seras obligée de couper l’un de tes rubans.

- Comprendre que pour déterminer qui a raison, il est nécessaire de passer à une écriture symbolique de la situation : 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … pour atteindre 3.

- Comprendre qu’il est nécessaire de calculer la somme des premiers termes, à partir da 1 + 1/2 = 3/2 ; 3/2 + 1/3 = 11/6 … puis contrôler si l’on atteint 3.

- Se rendre compte que les dénominateurs communs deviennent de plus en plus grands (ppmc de 6 et 4) = 12, ppmc de 12 et 5 = 60, ppmc de 60 et 7 = 420 …) et décider éventuellement de passer aux nombres décimaux.

- Se rendre compte que les sommes augmentent lentement et que la recherche pourrait être longue et que la calculatrice sera la bienvenue.

- Poursuivre par le calcul des sommes successives : 11/6 + 1/4 = 1,83… + 0,25 = 2,083… et tenir compte de la présence de nombres périodiques (on pourrait peut-être se rendre compte que si Ariane voulait s’arrêter à 2 exactement, elle devrait couper un bout du 4e ruban parce que la somme dépasse 2 et se demander ce qu’il arrivera pour 3 ?)

- Poursuivre le calcul des sommes successives, contrôlé au fur et à mesure delle somme successive et arriver à la dixième, voisine de 2,93 (selon le type de calculatrice ou tableur) puis 2,93 + 1/11 = 3,019… qui montre que Beatrice a raison parce que la somme est supérieure à 3 (et la longueur dépasse 3 m) ce qui signifie qu’Ariane doit couper un bout de son dernier ruban (le onzième) si elle veut atteindre exactement 3 m. (Éventuellement, la suite des sommes partielles est 1 ; 1/2 ; 11/6 ; 25/12 ; 137/ 60 ; 49/20 ; 363/40 ; 761/280 ;7129/2520 ; 7381/2520 < 3 ; 83711/27720 > 3 et montre que le 3 se situe entre la dixième et la onzième, c’est-à-dire qu’il faudra couper le 11 ruban)

Ou: dessiner une bande à l’échelle (par exemple où 1 dm correspond à 1 m) et y reporter les rubans (en cm) de 10,0 ; 5,0 ; 3,3 ; 2,5 ; 2,0 ; 1,7 ; 1,4 ; 1,3 ; 1,1 ; 1,0 pour constater, avec une précision au mm près, qu’on n’atteint pas les 30 cm mais à peu près 29,3 (entre 29,2 et 29,5) cm et qu’il faudrait y ajouter une partie de la 11e bande

Notions mathématiques

somme, terme, série, suite, nombre décimal, nombre rationnel, nombre irrationnel, approximation

Résultats

29.I.16

Points attribués sur 895 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Béatrice a raison) avec explications (du genre : nous avons calculé les sommes et n’en avons trouvé aucune égale à 3 ou montrant la somme directement inférieure à 3 et celle directement supérieure à 3, ou indiquant qu’il faut couper une partie de la 11e bande) avec le détail des calculs (par exemple le relevé des derniers nombres obtenus sur la calculatrice)
• 3 points: Réponse correcte, avec explications correctes mais seulement quelques détails corrects de la procédure (par exemple : seulement en indiquant que c’est la 11e bande qu’il faudra couper, sans indiquer les longueurs obtenues)
  ou réponse correcte avec explications et détails des calculs, mais avec une erreur de calcul dans une des additions
  ou réponse correcte avec explications, mais avec un saut dans la succession des rubans
• 2 points: Réponse correcte avec explications sans les détails de la procédure (Par exemple Béatrice a raison car on ne peut pas obtenir 3 exactement, on obtient toujours des nombres qui s’écrivent avec une infinité de décimales)
  ou réponse incorrecte due à une erreur d’approximation dans les sommes ou l’affirmation explicite que le ruban qui manque est si petit qu’il peut être négligé
• 1 point: Début de raisonnement correct (au moins les quatre premières sommes ou un dessin des quatre ou cinq premiers rubans)
• 0 point: Incompréhension du problème ou réponse « Béatrice a raison » sans autres commentaires