Le strisce colorate di Arianna

Identificazione

Rally: 29.I.16 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: OPQ, FN
Famiglie:

• AMD - Addizionare e moltiplicare numeri decimali
• AMQ - Addizionare, moltiplicare, ... confrontare, trasformare frazioni
• SN - Gestire una successione numerica

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Sunto

Stabilire se $3$ possa essere la somma dei primi $n$ termini della serie $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + \ldots 1/n$.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Capire che Arianna deve attaccare le sue strisce lungo la lunghezza della parete a partire dalla striscia più lunga e via a via in ordine decrescente.

- Comprendere il significato della frase di Beatrice: dovrai tagliare uno dei nastri.

- Capire che per stabilire quale delle due sorelle abbia ragione, è necessario passare alla scrittura in simboli della situazione: $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \ldots$ quindi controllare se si raggiunge $3$.

- Capire che è necessario calcolare la somma dei primi termini, a partire da $1 + 1/2$, per cominciare a controllare quale parte dei $3$ m è via via coperta: $1 + 1/2 = 3/2$; poi $3/2 + 1/3 = 11/6$ per controllare se si raggiunge il $3$.

- Rendersi conto che i denominatori comuni diventano sempre più grandi (m.c.m ($6$, $4$) $= 12$, m.c.m ($12$, $5$) $= 60$, $\ldots$, m.c.m ($60$, $7$) $= 420$, $\ldots$) ed eventualmente decidere di passare ai numeri decimali.

- Rendersi conto che le somme aumentano di valore lentamente e che quindi la ricerca potrebbe essere lunga e che sarà opportuno usare la calcolatrice.

- Proseguire con il calcolo delle somme successive: $11/6 + 1/4 = 1,83 \ldots + 0,25 = 2,083 \ldots$ e notare la presenza di numeri periodici (si potrebbe forse rendersi conto che se Arianna volesse fermarsi a $2$ esattamente, dovrebbe tagliare un pezzo del quarto nastro poiché la somma supera $2$ e chiedersi « che succederà per $3$? »).

- Proseguire il calcolo delle somme successive, controllato nelle approssimazioni e arrivare alla decima, vicina a $2,93$ (a seconda del tipo di calcolatrice foglio di calcolo) poi $2,93 + 1/11 = 3,019 \ldots$ che mostra che Beatrice ha ragione perché la somma supera $3$ (e la lunghezza supera $3$ m), il che significa che Arianna deve tagliare un pezzetto del suo ultimo nastro (l’undicesimo) se vuole fermarsi esattamente a $3$ m. (Eventualmente, la successione delle somme parziali è $1$; $1/2$; $11/6$; $25/12$; $137/60$; $49/20$; $363/140$; $761/280$; $7129/2520$; $7381/2520 < 3$; $83711/27720 > 3$ e mostra che $3$ si situa tra la decima e l’undicesima, cioè che bisognerà tagliare l’undicesima striscia).

Oppure

Disegnare una striscia in scala (ad esempio in cui $1$ dm corrisponde a $1$ m) e riportarvi le strisce (in cm) di $10,0$; $5,0$; $3,3$; $2,5$; $2,0$; $1,7$; $1,4$; $1,3$; $1,1$; $1,0$ per constatare con una precisione quasi al millimetro, che non si raggiungono i $30$ cm, ma si arriva a circa $29,3$ (tra $29,2$ e $29,5$) cm e che bisognerà aggiungere una parte dell’undicesima striscia.

Nozioni matematiche

serie, approssimazione, numero razionale, numero irrazionale, limite

Risultati

29.I.16

Punti attribuiti su 895 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (ha ragione Beatrice) con spiegazione (del tipo: abbiamo calcolato le somme e abbiamo trovato che nessuna somma dà come risultato $3$ oppure mostrando la somma immediatamente minore e quella immediatamente maggiore di $3$), oppure indicando che bisogna tagliare una parte dell’undicesima striscia, con i dettagli dei calcoli (per esempio la lista degli ultimi numeri ottenuti con la calcolatrice)
• 3 punti: Risposta corretta, con spiegazioni corrette ma con solo qualche dettaglio corretto della procedura (per esempio: indicando soltanto che bisognerà tagliare l’undicesima banda, senza indicare le lunghezze ottenute)
  oppure risposta corretta con spiegazioni e dettagli dei calcoli, ma con un errore di calcolo in una delle addizioni
  oppure riposta corretta con spiegazioni, ma con un salto nella successione delle strisce
• 2 punti: Risposta corretta con spiegazioni senza i dettagli della procedura (per esempio: Beatrice ha ragione: non si può ottenere esattamente la lunghezza $3$ perché le somme dei nastri, che sono numeri decimali, non sono mai uguali proprio a $3$)
  oppure risposta sbagliata dovuta ad un errore di approssimazione nelle somme o l’affermazione esplicita che la striscia che manca è così piccola da poterla trascurare
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto (almeno le quattro prime somme o un disegno delle prime quattro o cinque strisce)
• 0 punto: Incomprensione del problema oppure risposta « Beatrice ha ragione » senza altri commenti