Thomas joue avec les nombres

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Rallye: 29.I.20 ; catégories: 9, 10 ; domaines: NU, OP
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer tous les nombres entiers de trois chiffres __abc__, avec 0 < a < b < c, dont la somme des nombres formés par les six permutations de leurs trois chiffres est 4218.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Se rappeler la structure polynomiale d’un nombre de trois chiffres : la somme du produit du premier chiffre (considéré ici comme nombre) par 100, du deuxième par 10 et du troisième par 1 c’est-à-dire se rendre compte qu’il faut décomposer les nombres en centaines, dizaines et unités, pour organiser les premiers essais.

- Vérifier qu’il y a bien six nombres différents qui s’écrivent avec les trois chiffres choisis.

- Vérifier l’exemple proposé, puis effectuer d’autres essais avec d’autres chiffres pour trouver des sommes des six permutations qui donnent 4218.

Ou : se rendre compte progressivement que chacun des trois chiffres apparaît deux fois en position des centaines, deux fois en position des dizaines et deux fois en position des unités dans la somme des six nombres obtenus par permutations.

- Commencer, par exemple, par trouver des informations sur les trois chiffres à partir de 8, le chiffre des unités de 4218, qui doit être le double la somme des trois chiffres. Cette somme ne peut pas être 4 car si les plus petit chiffres 1, 2 et 3 avaient été choisis, leur somme 6 est trop grande. Donc ce double doit être 18 ou 28 ou 38 ou 48 et les sommes 9, 14, 19 ou 24. En procédant dans l'ordre seuls quelques essais suffisent :

Si le double de la somme des trois chiffres est 18, alors on aurait aussi 18 dizaines et 18 centaines, ce qui est insuffisant pour arriver à 4218 ; si le double de la somme des trois chiffres est 28, alors on aurait aussi 28 dizaines et 28 centaines, insuffisant pour arriver à 4218 ; si le double de la somme des trois chiffres est 38, alors on aurait aussi 38 dizaines et 38 centaines, ce qui est correspond à 38 + 380 + 3800 = 4218, donc la somme des trois chiffres est 19.

Les trois chiffres différents, dont la somme est 19, peuvent être : 3, 7 et 9 ou 4, 6 et 9 ou 4, 7 et 8 ou 5, 6 et 8. Il n’y a que ces quatre solutions.

Ou : envisager le cas général en écrivant les nombres de trois chiffres cdu sous forme polynomiale 100 c +10 d + u.

La somme des six nombres est alors

S = (2c + 2d + 2u) x 100 + (2c + 2d + 2u) x 10 + (2c + 2d + 2u) = 2 (c + d + u) x (100 + 10 + 1) = (c + d + u) x 222.

Puisque S = 4218, il s'ensuit que : c + d + u = 4218 ÷ 222, donc que c + d + u = 19.

Trouver finalement les 3 nombres à un chiffre tels que c + d + u = 19 et 0 < c < d < u. Il y a cinq solutions : 289, 379, 469, 478 et 568.

Notions mathématiques

nombre naturel, chiffre, unité, dizaine centaine, numération, somme, permutation, déduction,

Résultats

29.I.20

Points attribués sur 287 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète : les cinq triplets (2 ; 8 ; 9), (3 ; 7 ; 9), (4 ; 6 ; 9), (4 ;7 ; 8), (5 ; 6 ; 8) avec explication claires et complète du raisonnement suivi : décomposition des nombres en centaines, dizaines et unités puis regroupements par distributivité ou mise en évidence du facteur 222 avec mention de la somme des chiffres 19 ou recherche par un des chiffres (les unités par exemple)
• 3 points: Réponse correcte et complète avec explication incomplètes ou seulement des vérifications
  ou réponse incomplète avec seulement 4 solutions (avec explications claires et complètes)
• 2 points: Réponse incomplète avec seulement 3 solutions (avec explications claires et complètes)
• 1 point: Début de recherche et réponse avec une ou deux solutions correctes
• 0 point: Incompréhension du problème

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