Chocolat en scène

Identification

Rallye: 29.II.07 ; catégories: 5, 6 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• ECH - Effectuer des échanges

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Résumé

Trouver deux nombres tels que, si on diminuait le premier de $1$ et que l’on augmentait le second de $1$ ils seraient égaux et si l’on diminuait le second de $1$ et que l’on augmentait le premier de $1$, ce dernier serait le double du second.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Lire le texte et comprendre que ce sont les nombres de chocolats de chaque sorte qui sont à déterminer à partir des deux échanges proposés, en particulier: «Remplacer un noir pas un blanc» signifie «retirer un noir et mettre un blanc à sa place», ou encore «enlever un noir et ajouter un blanc» ou encore «diminuer de $1$ le nombre de noirs et augmenter de $1$ le nombre de blancs» Par la même occasion, comprendre qu’il y a plus de noirs que de blancs. (De même pour «remplacer un blanc par un noir»).

- Après le premier échange où les nombres de noirs et de blancs sont devenus égaux revenir à l’état initial (en retirant un noir et remettant un blanc) pour comprendre qu’il y avait deux noirs de plus que de blancs.

- De la seconde relation avant et après les échanges, percevoir que le nombre de noirs augmenté de $1$ est le double du nombre de blancs diminué de $1$.

- Pour la résolution quelques essais suffisent, en partant de l’écart de $2$, pour voir que parmi les couple ($n$; $b$), ($3$; $1$), ($4$; $2$), ($5$; $3$) il faut aller jusqu’à ($7$; $5$) pour trouver celui qui répond à la deuxième relation: parce que $8$ ($7 + 1$) est le double de $4$ ($5 – 1$).

Ou

- En partant du double, il ne faut aussi que quelques essais pour trouver que parmi les couples ($2$; $1$); ($4$; $2$); ($6$; $3$); ($8$; $4$); ($10$; $5$); $\ldots$ c’est ($8$; $4$) qui convient parce que $7$ ($8 – 1$) vaut $2$ de plus que $5$ ($4 + 1$).

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, soustraction, échange, égalité, double

Résultats

29.II.07

Points attribués, sur 1496 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte ($5$ blancs et $7$ noirs) avec une description du raisonnement suivi ou une vérification du genre «si on remplace un noir par un blanc on aura $6$ et $6$ et si on remplace un blanc par un noir on aura $8$ qui est le double de $4$».
• 3 points: Réponse correcte ($5$ blancs et $7$ noirs) avec une description incomplète ou une vérification partielle (par exemple «on a fait des essais» mais avec une liste partielle de ces essais ou sans les décrire).
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul mais raisonnement clair et complet sur les deux contraintes
  ou réponse «$12$ chocolats en tout» avec une description claire ou complète du raisonnement
  ou réponse correcte sans aucune explication.
• 1 point: Début cohérent de recherche (par exemple: quelques essais cohérents sans aboutir à la réponse ou représentation cohérente du problème par dessins ou expressions mathématiques)
  ou réponse «$12$ chocolats en tout».
• 0 point: Incompréhension du problème.