L'habit de poupée

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Rallye: 29.II.08 ; catégories: 5, 6 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Trouver quatre nombres naturels dont la somme est $66$, dont aucun n’est plus grand que $20$ ni plus petit que $10$, dont la somme du premier et du troisième est égale à la somme du deuxième et du quatrième, dont la différence entre le premier et le troisième est $1$.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Comprendre la situation: un ruban de $66$ cm de longueur, formé de quatre pièces de couleur, dont on ne connaît pas les longueurs mais des relations permettant de les déterminer.

- Comprendre l’information de la quatrième condition: le ruban peut être divisé en deux parties égales: l’une formée de $R + J$, l’autre de $V + B$ chacune de $33$ cm ($66 \div 2$).

- Tirer de la troisième condition la longueur des rubans rouge et jaune qui, en cas d’égalité serait $16,5$ cm, mais comme $R = J – 1$ on a alors $R = 16$ cm et $J = 17$ cm.

- De la première et de la quatrième conditions, les longueurs possibles de $B$ et $V$ sont respectivement $18$, $19$ ou $20$ cm, et $33 – 18 = 15$ ou $33 – 19 = 14$ ou $33 – 20 = 13$.

- On trouve alors les solutions

• pour $R$ et $J$, une seule possibilité: $R = 16$ et $J = 17$;
• pour $V$ et $B$ trois possibilités; $V = 13$ si $B = 20$ ou $V = 14$ si $B = 19$ ou $V = 15$ si $B = 18$.

Ou

• procéder per essais, choisissant une valeur de $R$, ajouter $1$ et trouver $J$, additionner ces deux nombres pour trouver $R + J = V + B$ et se rendre compte que la somme des deux parties (ou le double d’une des deux) doit être $66$. Si ce n’est pas le cas, procéder à un autre essai ou comprendre que $R + J$ est la moitié de $66$.

Ou

• après avoir compris que $R + J = V + B$, ce qui signifie que $R + J = 66 \div 2 = 33$ utiliser une représentation graphique ou une écriture symbolique pour exprimer la relation $R + J = R + R + 1 = 33$ et en tirer $R = 16$ et $J = 17$.
• Une fois connus $R$ et $J$, comprendre que $B$, la plus longue, peut valoir $20$, $19$ ou $18$ et trouver les valeurs de $V$ correspondantes.

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, somme, différence, inférieur, supérieur, longueur

Résultats

29.II.08

Points attribués, sur 1499 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte ($R = 16$; $J = 17$; $V = 13$ ou $14$ ou $15$; $B = 20$ ou $19$ ou $18$) avec les trois possibilités pour le couple $V$ et $B$ avec description claire de la démarche accompagnée des calculs nécessaires.
• 3 points: Réponse correcte avec description partielle ou peu claire
  ou seulement les longueurs des pièces (avec toutes les possibilités pour $V$ et $B$) sans spécifier les relations entre $V$ et $B$ (par exemple $R = 16$; $G = 17$; $V = 13$ ou $14$ ou $15$; $B = 18$ ou $19$ ou $20$), mais avec description claire de la démarche.
• 2 points: Réponse correcte sans description ni calculs
  ou longueurs correctes pour $R$ et $J$, et seulement deux couples de valeurs pour $V$ et $B$ (par exemple absence de $20$ pour avoir mal interprété la condition «...ni plus de $20$») avec description claire et calculs
  ou présence d’une seule erreur de calcul, mais avec description claire.
• 1 point: Réponse incomplète: longueurs correctes pour $R$ et $J$, une seule possibilité trouvée pour le couple $V$ et $B$
  ou réponse qui ne tient pas compte de toutes les conditions.
• 0 point: Incompréhension du problème.