Egalité à compléter

Identification

Rallye: 29.II.12 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: OP, OPN, OPD
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

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Résumé

Trouver toutes les paires de nombres positifs, dont le produit multiplié par $90$ est $1620$, tels qu’un des nombres est inférieur à $10$ et s’écrit avec deux chiffres dont le dernier est $5$.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Comprendre que la partie gauche de l’égalité est un produit de trois facteurs dont un seul est connu ($90$); c’est à dire qu’il y a deux multiplications à effectuer: une première par un premier nombre et $90$, une seconde par ce résultat et un deuxième nombre, dont le produit doit être $1620$.

- Savoir que la multiplication est commutative et que, en cas de produits de trois nombres, l’opération est associative. Par exemple, dans cette expression on peut commuter les deux premiers nombres et associer ensuite les deux autres (encore inconnus) pour transformer l'expression de l’énoncé en $90 \times (... \times ...) = 1620$ ou $90 \times ... = 1620$ et que le produit encore indéterminé se calcule par l’opération $1620 \div 90 = 18$.

- Comprendre que l’un des facteurs qui s’écrit avec deux chiffres en se terminant par $5$ est obligatoirement de la forme $..., 5$ et doit être choisi entre $0,5$ ou $1,5$ ou $2,5$ ou $3,5$; ...; $9,5$. La recherche consiste donc à trouver les quotients de $18$ par un des nombres précédents, qui s’écrivent avec deux chiffres seulement.

- On trouve ainsi, après division, les paires de nombres solutions: ($0,5$ - $36$); ($1,5$ - $12$); ($2,5$ - $7,2$); ($7,5$ - $2,4$); toutes les autres paires doivent être exclues car ne répondant pas aux conditions données.

Notions mathématiques

nombre naturel, nombre décimal, chiffre, multiplication, division, produit, facteur, quotient, commutativité associativité

Résultats

29.II.12

Points attribués, sur 2351 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte (les quatre paires possibles: ($0,5$; $36$); ($1,5$; $12$); ($2,5$; $7,2$); ($7,5$; $2,4$) (avec éventuellement les quatre paires «symétriques» ($36$; $0,5$), ($12$; $1,5$) ...) avec une description correcte et complète de la procédure utilisée (tous les calculs ou tentatives effectués)
• 3 points: Réponse correcte avec description incomplète de la procédure utilisée (absence de quelques calculs ou liste incomplète des essais).
• 2 points: Réponse partiellement correcte avec identification de $2$ à $3$ paires de nombres correctes et une description correcte de la procédure utilisée
  ou les quatre paires avec une description correcte et complète de la procédure utilisée mais avec l'ajout d'une paire qui ne prend pas en compte les conditions requises (par exemple la paire $4,5$ et $4$ ou ...)
  ou les nombres à insérer dans les espaces sont trouvés ($0,5$; $1,5$; $2,4$; $2,5$; $7,2$; $7,5$; $12$; $36$) mais pas regroupés en paires
  ou procédure correcte, mais mauvaise réponse due à une erreur de calcul
  ou réponse correcte sans explication.
• 1 point: Début correct de raisonnement permettant d’identifier une paire de nombres corrects.
• 0 point: Incompréhension du problème.