Banque de problèmes du RMT
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Déterminer un partage (de $35$) en quatre parties proportionnellement à $1$; $\frac{3}{4}$; $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{2}$ (après avoir exprimé ces parties, par des fractions des précédentes et transformé $6 300$ en $35$ parts égales à $180$ chacune).
Analyse de la tâche a priori:
- Comprendre que la cure a une durée quatre semaines, et que la posologie change chaque semaine; que la masse totale de vitamines à prendre est connue: à savoir $6300$ mg ou $35$ pastilles de $180$ mg, répartie selon les rapports entre les quantités à prendre par semaine.
- Procéder par essais, progressivement ajustés à partir des $6300$ du total: par exemple, supposer que la quantité de la première semaine est de $1000$ mg. Calculez $3/4$ de $1 000$ ($750$), $2/3$ de $750$ ($500$), $1/2$ de $750$ ($375$) et constater que: $1000 + 750 + 500 + 250 = 2500$ mg, est nettement inférieur à $6300$ mg. Les ajustements successifs peuvent aller jusqu’à $2 520$ mg pour la première semaine: $2520 + 1890 + 1 260 + 630 = 6300$. Puis calculer les quantités en comprimés par divisions par $180$: $6300$ mg correspond à $35$, $2520$ à $14$ puis $1890$ à $10,5$, $1260$ à $7$, et enfin la quatrième semaine, $630$ à $3,5$; puis par divisions par $7$ pour les jours de la semaine et aboutir à $2$; $1,5$; $1$ et $0,5$ comprimés, respectivement de la $1$e à la $4$e semaine. Cette procédure est longue, les essais s’organisent plus facilement si on part de $35$ comprimés ($6300 \div 180$) pour les quatre semaines ou même de $5$ comprimés ($35 \div 7$) par jour de chacune des quatre semaines.
Ou
- Chercher à exprimer les parts en partant de $1$ pour celle de la première semaine, puis $3/4$ pour la $2$e semaine, puis $(2/3)(3/4) = 1/2$ pour la troisième et $(1/2)(1/2) = 1/4$ pour la quatrième et se rendre compte qu’il s’agit de répartir la dose totale ($6300$ mg ou $35$ comprimés en quatre parts proportionnelles à $1$; $3/4$; $1/2$ et $1/4$ ou $4/4$; $3/4$; $2/4$ et $1/4$, ou encore à $4$; $3$; $2$ et $1$, c’est-à-dire en $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ «quarts». Une représentation graphique, par exemple à l’aide de segments, peut aider à comprendre cette répartition).
- Les $10$ «petites parts» ou «quarts» du partage se calculent alors facilement $6300 \div 10 = 630$ ou $35 \div 10 = 3,5$ et l’on retrouve les résultats précédents.
- Il existe une grande variété de raisonnements analogues, après avoir, par exemple, transformé toutes les fractions en douzièmes, qui conduit à $10/12$ pour le total des quatre parts, ...
Ou
- par voie algébrique, avec x comme dose de la première semaine résoudre l'équation $x + 3/4x + 2/3 (3/4x) = 6300$ ou $x + 3/4x + 2/3 (3/4x) + 1/2 (2/3) (3/4x) = 35$ dont les solutions respectives sont $2520$ ou $14$. Il faut encore signaler que, quelle que soit la procédure, la difficulté du problème tient au passage entre les mg et les comprimés, puis entre les comprimés et les jours de la semaine, avec l’apparition de nombres décimaux ou de «demi-comprimés».
fraction, durée, transformation d’unité, proportionnalité, répartition proportionnelle
Points attribués, sur 1636 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 460 (56%) | 98 (12%) | 87 (11%) | 90 (11%) | 83 (10%) | 818 | 1.07 |
| Cat 8 | 210 (39%) | 91 (17%) | 50 (9%) | 94 (17%) | 99 (18%) | 544 | 1.6 |
| Cat 9 | 32 (23%) | 16 (12%) | 14 (10%) | 19 (14%) | 56 (41%) | 137 | 2.37 |
| Cat 10 | 20 (15%) | 12 (9%) | 14 (10%) | 23 (17%) | 68 (50%) | 137 | 2.78 |
| Total | 722 (44%) | 217 (13%) | 165 (10%) | 226 (14%) | 306 (19%) | 1636 | 1.5 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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