Beaucoup de zéros

Identification

Rallye: 29.II.20 ; catégories: 9, 10 ; domaines: OP, OPN, NU
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

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Résumé

Trouver le plus petit produit formé de facteurs différents choisis parmi les nombres naturels de $1$ à $30$ dont l’écriture se termine par un maximum de zéros.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Se rappeler la définition d’un «produit» de plusieurs nombres (en examinant les exemples de l’énoncé) et se rendre compte qu’il y a un très grand nombre de produits composés des facteurs de $1$ à $30$; de deux facteurs, trois facteurs ... jusqu’au dernier de $30$ facteurs. Parmi tous ces produits, il faudra s’intéresser qu’à ceux qui se terminent par des zéros.

- Identifier quelques produits possibles se terminant par un zéro, deux zéros, trois zéros ... (par exemple $10 \times 20 \times 30 = 6\ 000$) et se demander à partir d’exemples identifiés, si on peut obtenir des produits avec plus de zéros (par exemple, en multipliant $6 000$ par $5$ on trouve $6\ 000 \times 5 = 30\ 000$ qui a un zéro de plus).

- Poursuivre ainsi les essais dans la recherche de produits avec un plus grand nombre de zéros que les précédents (par exemple en multipliant $30\ 000$ par $15$ on obtient $30\ 000 \times 15 = 450\ 000$ toujours avec quatre zéros mais en multipliant ce dernier par un nombre pair ($12$) on trouve $450\ 000 \times 12 = 5\ 400\ 000$ qui a cinq zéros).

- Ainsi de suite, poursuivre les essais et se convaincre peu à peu qu’il faut utiliser tous les multiples de $5$ à disposition ($5$, $10$, $15$, $20$, $25$ et $30$) avec quelques multiples de $2$, pour obtenir le plus petit produit. Parmi les six multiples de $5$ remarquer que $25$ multiplié par un multiple de $4$ est un multiple de $100$, qui apporte deux zéros supplémentaires. En conclure qu’il y a sept fois le facteur $5$ dans les nombres de $1$ à $30$ et que, par conséquent, on ne pourra pas trouver de produits se terminant par plus de sept zéros.

- En multipliant le produit $5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 = 11\ 250\ 000$ par $2$ on obtient: $22\ 500\ 000$, si on le multiplie par $4$ on obtient: $45\ 000\ 000$, et par $8$ on obtient: $90\ 000\ 000$. Il faut donc choisir les six multiples de $5$ puis $2$ et $4$ ou seulement $8$ pour obtenir $90\ 000\ 000$, qui se termine par sept zéros.

Ou

- En faisant appel aux propriétés de la multiplication (associativité et commutativité) puis à la décomposition d’un nombre en facteurs premiers, (ici $2$ et $5$): sachant que l’existence d’un zéro en fin de produit exige la présence d’un facteur $10$ ou d’un facteur $2$ et d’un facteur $5$, chercher les facteurs $5$ dans les nombres de $1$ à $30$, en trouver $7$, (un dans $5$, $10$, $15$, $20$, $30$ et deux dans $25$) et chercher $7$ facteurs $2$. Comme il y en a déjà $4$ dans $10$, $20$ et $30$, il suffit d’en trouver $3$ autres, soit dans $8$, soit dans $2$ et $4$. En conclure que le produit «gagnant» est $90\ 000\ 000$, sous l’une de ses deux formes: $90\ 000\ 000 = 5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 \times 8 = 5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 \times 2$ $\times 4$.

Notions mathématiques

nombre naturel, produit, facteurs, numération, base dix, multiples, puissance

Résultats

29.II.20

Points attribués, sur 270 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Une des solutions, $2$; $4$; $5$; $10$; $15$; $20$; $25$; $30$ ou $5$; $8$; $10$; $15$; $20$; $25$; $30$, avec la vérification $90\ 000\ 000$ et une description claire de la démarche, soit par essais successifs, soit par des raisonnements sur la factorisation des nombres contenant les facteurs $2$ et $5$ dans leur décomposition
• 3 points: Une des solutions avec explications peu claires ou incomplètes conduisant cependant à la détermination des $7$ zéros
  ou une autre solution avec $7$ zéros, bien argumentée, mais qui n’est pas optimale (par exemple $360\ 000\ 000$).
• 2 points: Un nombre avec $6$ zéros finaux, justifié par la présence d’essais, même peu clairs et peu structurés
  ou réponse correcte, avec les facteurs et $90\ 000\ 000$ mais sans explication.
• 1 point: Début de recherche par quelques essais qui témoignent de la reconnaissance des facteurs $2$ et $5$ dans la production des zéros finaux et conduisant à un produit se terminant au minimum par trois.
• 0 point: Incompréhension du problème.