Banque de problèmes du RMT
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Trouver le plus petit produit formé de facteurs différents choisis parmi les nombres naturels de $1$ à $30$ dont l’écriture se termine par un maximum de zéros.
Analyse de la tâche a priori:
- Se rappeler la définition d’un «produit» de plusieurs nombres (en examinant les exemples de l’énoncé) et se rendre compte qu’il y a un très grand nombre de produits composés des facteurs de $1$ à $30$; de deux facteurs, trois facteurs ... jusqu’au dernier de $30$ facteurs. Parmi tous ces produits, il faudra s’intéresser qu’à ceux qui se terminent par des zéros.
- Identifier quelques produits possibles se terminant par un zéro, deux zéros, trois zéros ... (par exemple $10 \times 20 \times 30 = 6\ 000$) et se demander à partir d’exemples identifiés, si on peut obtenir des produits avec plus de zéros (par exemple, en multipliant $6 000$ par $5$ on trouve $6\ 000 \times 5 = 30\ 000$ qui a un zéro de plus).
- Poursuivre ainsi les essais dans la recherche de produits avec un plus grand nombre de zéros que les précédents (par exemple en multipliant $30\ 000$ par $15$ on obtient $30\ 000 \times 15 = 450\ 000$ toujours avec quatre zéros mais en multipliant ce dernier par un nombre pair ($12$) on trouve $450\ 000 \times 12 = 5\ 400\ 000$ qui a cinq zéros).
- Ainsi de suite, poursuivre les essais et se convaincre peu à peu qu’il faut utiliser tous les multiples de $5$ à disposition ($5$, $10$, $15$, $20$, $25$ et $30$) avec quelques multiples de $2$, pour obtenir le plus petit produit. Parmi les six multiples de $5$ remarquer que $25$ multiplié par un multiple de $4$ est un multiple de $100$, qui apporte deux zéros supplémentaires. En conclure qu’il y a sept fois le facteur $5$ dans les nombres de $1$ à $30$ et que, par conséquent, on ne pourra pas trouver de produits se terminant par plus de sept zéros.
- En multipliant le produit $5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 = 11\ 250\ 000$ par $2$ on obtient: $22\ 500\ 000$, si on le multiplie par $4$ on obtient: $45\ 000\ 000$, et par $8$ on obtient: $90\ 000\ 000$. Il faut donc choisir les six multiples de $5$ puis $2$ et $4$ ou seulement $8$ pour obtenir $90\ 000\ 000$, qui se termine par sept zéros.
Ou
- En faisant appel aux propriétés de la multiplication (associativité et commutativité) puis à la décomposition d’un nombre en facteurs premiers, (ici $2$ et $5$): sachant que l’existence d’un zéro en fin de produit exige la présence d’un facteur $10$ ou d’un facteur $2$ et d’un facteur $5$, chercher les facteurs $5$ dans les nombres de $1$ à $30$, en trouver $7$, (un dans $5$, $10$, $15$, $20$, $30$ et deux dans $25$) et chercher $7$ facteurs $2$. Comme il y en a déjà $4$ dans $10$, $20$ et $30$, il suffit d’en trouver $3$ autres, soit dans $8$, soit dans $2$ et $4$. En conclure que le produit «gagnant» est $90\ 000\ 000$, sous l’une de ses deux formes: $90\ 000\ 000 = 5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 \times 8 = 5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 \times 2$ $\times 4$.
nombre naturel, produit, facteurs, numération, base dix, multiples, puissance
Points attribués, sur 270 classes de 9 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 22 (17%) | 71 (53%) | 15 (11%) | 15 (11%) | 10 (8%) | 133 | 1.4 |
| Cat 10 | 23 (17%) | 63 (46%) | 21 (15%) | 15 (11%) | 15 (11%) | 137 | 1.53 |
| Total | 45 (17%) | 134 (50%) | 36 (13%) | 30 (11%) | 25 (9%) | 270 | 1.47 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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